Unicidad de funciones inducidas en grupos libres reducidos

Question

Sea $F_n$ el grupo libre generado por $x_1,\cdots,x_n$ y sea $K_n$ el grupo libre reducido, es decir, $F_n$ módulo la relación $[x_i,x_i^g]=1$ para todo $i\in\{1,\cdots,n\}$,$g\in F_n$, donde $x_i^g=g^{-1}x_ig$ y $[\cdot,\cdot]$ es el conmutador. Existe un homomorfismo cociente natural $q_n:F_n\to K_n$.

Mi pregunta es, si un homomorfismo de grupos $f:F_m\to F_n$ induce dos homomorfismos $f'$ y $f'':K_m\to K_n$; es decir, los siguientes dos diagramas son conmutativos: $$\begin{array} A & F_m &{\stackrel{f}{\longrightarrow}} & F_n & \\ & \downarrow{q_m} & &\downarrow{q_n}& \\ &K_m & \stackrel{f'}{\longrightarrow} & K_n & & \end{array}$$ $$\begin{array} A & F_m &{\stackrel{f}{\longrightarrow}} & F_n & \\ & \downarrow{q_m} & &\downarrow{q_n}& \\ &K_m & \stackrel{f''}{\longrightarrow} & K_n & & \end{array}$$ ¿Es cierto que $f'=f''$?

Editar: En realidad, la existencia de tal función $f'$ probablemente también valga la pena preguntar; pero por el momento, estoy principalmente interesado en la unicidad.

Answer 1

Sí, esto es inmediato en el hecho de que $q_m$ es sobreyectiva. Entonces, para cualquier $a\in K_m$, elige algún $b\in F_m$ tal que $q_m(b)=a, y luego debes tener $f'(a)=f''(a)=q_n(f(b))$ para que los diagramas conmuten.