Cardenal de un conjunto de funciones entre dos conjuntos finitos de enteros

Question

Sea $A= \{a_1, a_2, a_3,\cdots, a_{10}\}$, $B=\{ 1,2 \}$. Encuentra el número de funciones $f: A \to B$ tal que $f(a_1) +f(a_2)+\cdots+f(a_{10})$ sea un número par.

He intentado encontrar el número de funciones $2^{10}$ Pero no consigo ninguna pista para encontrar las funciones bajo tales condiciones.

Answer 1

Pista

Intuitivamente, la cantidad de estos mapas es $2^{10}/2$: hay la misma cantidad de mapas donde la suma es par, en comparación con los mapas donde la suma es impar.

Para probarlo, demuestra que hay una correspondencia uno a uno entre los mapas donde $f(a_1)=1$, vs. los mapas donde $f(a_1)=2$.

Answer 2

Para verlo como un problema de disposición, dejemos que nuestro mapeo sea permutaciones de $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}, \{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}, \{2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ y así sucesivamente...

Para obtener un número par como resultado, necesitas seleccionar permutaciones de conjuntos que tengan un número par de unos. Deja que $P_{10}$ sean permutaciones de $\{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$, $P_{9}$ sean permutaciones de $\{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1\}$ y así sucesivamente... $$\ \text{Permutaciones Requeridas}=P_0+P_2+P_4+P_6+P_8+P_{10}$$ Puedes calcular cada término y encontrar la respuesta o puedes usar simetría y argumentar que esto será igual a $\frac{2^{10}}{2}$ como lo señala mathcounterexamples.net

Answer 3

Entonces tienes que tomar incluso miembros de $A$ que están mapeados a $1$.

Por lo tanto, necesitas encontrar el número de subconjuntos de $A$ con cardinalidad par, y eso es: $${10\choose 0}+{10\choose 2}+...+{10\choose 10} = {2^{10}\over 2}$$

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Una pregunta más interesante sería si tomamos $B=\{1,2,3\}$