Derivando una forma cerrada para una recursión a través de funciones generadoras

Question

Considere (1) $a_{n+2} = 2a_{n+1} - a_n + 4n3^n$ con $a_0 = a_1 = 1$.

Usando funciones generadoras y estableciendo $A(x) = \sum a_nx^n$ obtenemos

$$\begin{align*}&\quad\sum a_{n+2}x^{n+2} = \sum2a_{n+1}x^{n+2} - \sum a_nx^{n+2} + \sum 4n3^nx^{n+2}\\ &\implies [A(x) - a_0 - a_1x] = 2x[A(x)-a_0] - x^2A(x) + \sum_n 4n3^nx^{n+2}\end{align*}$$

¿Es esto correcto hasta ahora? ¿Siempre hay una mejor manera de reorganizar la función generadora obtenida, o varía de un problema a otro? Además, ¿es más sencillo usar este método aquí o en su lugar obtener una solución particular a través de coeficientes indeterminados? Cualquier ayuda es muy apreciada.

¿Es posible descomponer $4n3^nx^{n+2}$ en $x^2$$\sum 4n \times 1/(1-3x)$ y ¿esto ayuda?

Answer 1

En este caso, una forma fácil de derivar una solución en forma cerrada es reescribir la secuencia como

$$a_{n+2}-a_{n+1} = a_{n+1} - a_n + 4n3^n$$

Luego puedes definir $b_n = a_{n+1}-a_n$ y obtendrás

$$b_{n+1} = b_n + 4n3^n$$

para lo cual es fácil dar una solución en forma cerrada. Luego puedes obtener $a_n$ sumando sobre $b_n$:

$$a_n = \sum_{k=0}^{n-1}b_k + a_0$$

Answer 2

Todo está bien excepto $\sum_n 4n3^n x^{n+2}$. Sea $B(x)=\sum_{n=1}^\infty 4n3^n x^{n+2}$. Entonces $$ \frac{1}{12x^3}B(x)=\sum_{n=1}^\infty n (3x)^{n-1}. $$ Utilizando el hecho de que $\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$ para $|x|<1$, tenemos $$\frac{1}{12x^3}B(x)=\frac{1}{(1-3x)^2}$$ o $$B(x)=\frac{12x^3}{(1-3x)^2}.

Answer 3

Yo evitaría el uso de la notación $\sum$ hasta que tengas una sensación intuitiva de cómo funciona este método. En su lugar, escribe cada término: $$\begin{aligned}a_2x^2&=2a_1x^2-a_0x^2\\ a_3x^3&=2a_2x^3-a_1x^3+12x^3\\ a_4x^4&=2a_3x^4-a_2x^4+72x^4\\ a_5x^5&=2a_4x^5-a_3x^5+324x^5\\ \vdots\phantom{x^n} &=\phantom{2a_2x^3-a_1}\vdots\end{aligned}$$ Estos se obtienen al especializar la recurrencia original (por $x^{n+2}$) para $n=0,1,2,3,\ldots$

Ahora suma estas ecuaciones y haz coincidir las sumas resultantes con tu definición de $A(x)$.

Answer 4

Así es como abordaría esto. De todos los términos $4n3^n$ no depende de los $a_i$, así que mantendré ese aparte. Lo primero es ver una expresión obtenida a partir de los términos restantes como un múltiplo de $A(x)$. Entonces primero separar $$ a_{n+2}-2a_{n-1}+a_n = 4n3^n. $$ Podemos reconocer el lado izquierdo como el coeficiente de $x^{n+2}$ en $(1-2x+x^2)A(x)$. Por lo que si multiplicamos cada relación de recurrencia mostrada por $x^{n+2}$ y sumamos, obtendremos una ecuación para $(1-2x+x^2)A(x)$, excepto por los términos de grado${}\leq1$, que son $1-x$ porque $a_0=a_1=1$ y $(1-2x)(1+x)\equiv1-x\pmod{x^2}$. Así que obtenemos $$ (1-2x+x^2)A(x) = 1-x+4x^2\sum_{n\geq0}n(3x)^n, $$ donde el término $x^2$ antes de la suma proviene del hecho de que $4n3^n$ fue multiplicado por $x^{n+2}$ en lugar de por $x^n$.

Ahora hacer la suma final puede ser reconocida al escribir $n+1=\binom{n+1}n=(-1)^n\binom{-2}n$ y $1=\binom nn=(-1)^n\binom{-1}n$ para todo $n\geq0$, por lo que $$ \sum_{n\geq0}n(3x)^n =\sum_{n\geq0}\left(\tbinom{-2}n-\tbinom{-1}n\right)(-3x)^n =(1-3x)^{-2}-(1-3x)^{-1} =\frac{3x}{(1-3x)^2}. $$ Poniendo todo junto obtenemos $$ A(x)=\frac{1-7x+15x^2+3x^3}{(1-x)^2(1-3x)^2}, $$ donde el numerador se obtuvo como $(1-3x)^2(1-x)+4x^2\times 3x$. Calcular una expresión concreta para los coeficientes de $A(x)$ es ahora estándar mediante descomposición en fracciones parciales.

Answer 5

Usa las técnicas de Wilf (ver "generatingfunctionology"). Tu recurrencia es: $$ a_{n + 2} = 2 a{n + 1} - a_n + 4 n 3^n \qquad a_0 = a_1 = 1 $$ Define $A(z) = \sum_{n \ge 0} a_n z^n$, multiplica por $z^n$ y suma sobre $n \ge 0$, reconociendo que las sumas resultantes dan: $$ \frac{A(z) - a_0 - a_1 z}{z^2} = 2 \frac{A(z) - a_0}{z} - A(z) + 4 z \frac{d}{d z} \frac{1}{1 - 3 z} $$ Esto da: $$ A(z) = \frac{1 - 7 z + 15 z^2 + 3 z^3}{1 - 8 z + 22 z^2 - 24 z^3 + 9 z^4} = \frac{1}{(1 - 3 z)^2} - 4 \cdot \frac{1}{1 - 3 z} + \frac{1}{1 - z} + 3 \cdot \frac{1}{(1 - z)^2} $$ Como tenemos: $$ (1 - u)^{-m} = \sum_{n \ge 0} \binom{-m}{n} (-u)^n = \sum_{n \ge 0} \binom{n + m - 1}{m - 1} u^n $$ la expresión de $A(z)$ da directamente: $$ a_n = \binom{n + 1}{1} 3^n - 4 \cdot 3^n + 1 + 3 \binom{n + 1}{1} = (n - 3) \cdot 3^n + 3 n + 4 $$