Tomemos un ejemplo real. Supongamos que deseamos calcular $$I = \int_{0}^{1}x\,dx\tag{1}$$ Como puedes ver, la integral $I$ se evalúa fácilmente con $I = 1/2$. Ahora pongamos $x = u^{2} = g(u)$ en la integral anterior y los límites de integración cambiarán a $u_{0} = 0, u_{1} = \pm 1$ y quieres saber cuál de los valores de $u_{1}$ es correcto.
Para responder a esta pregunta, recuerda el teorema de sustitución en una integral definida
Teorema: Si $g$ tiene una derivada continua $g'$ en $[c, d]$ y $f$ es continua en $g([c, d])$ entonces $$\int_{g(c)}^{g(d)}f(x)\,dx = \int_{c}^{d}f(g(u))g'(u)\,du\tag{2}$$
Del teorema anterior puedes ver que $c < d$ por lo tanto necesitamos elegir $c = 0, d = 1$ para que $g(c) = 0, g(d) = 1$ y luego $$I = \int_{0}^{1}x\,dx = \int_{0}^{1}u^{2}\cdot 2u\,du\tag{3}$$ Veamos qué sucede cuando elegimos $d = -1$. En ese caso es mejor escribir $c = -1, d = 0$ (para asegurar $c < d$). Ahora $g(u) = u^{2}$ es diferenciable en $[c, d] = [-1, 0]$ y $g(c) = 1, g(d) = 0$ por lo que se sigue que $$\int_{1}^{0}x\,dx = \int_{g(d)}^{g(c)}f(x)\,dx = \int_{c}^{d}f(g(u))g'(u)\,du = \int_{-1}^{0}u^{2}\cdot 2u\,du\tag{4}$$ lo cual es cierto ya que ambos lados se evalúan en $-1/2$.
Necesitas utilizar cuidadosamente el teorema mencionado anteriormente y también asegurarte de las condiciones bajo las cuales funciona. Así que cuando pones $x = g(u)$ y deseas obtener límites $c, d$ para $u$ correspondientes a $a, b$ para $x$ debes asegurarte de que $c < d$ independientemente de si $a < b$ o no.
Además, ten en cuenta que si inviertes los límites de integración en $(4)$ entonces nuevamente obtenemos $$I = \int_{0}^{1}x\,dx = \int_{0}^{-1}u^{2}\cdot 2u \,du$$ por lo que la restricción $c < d$ no es crítica. Lo crítico es la continuidad de la derivada $g'(u)$ en el intervalo que contiene a $c, d$ y la continuidad de $f$ en $g([c, d])$ (o $g([d, c])$ según sea el caso).
Puedes intentar evaluar $\int_{4}^{9}x\,dx$ de manera similar al poner $x = u^{2}$ y aquí tendrás dos opciones para ambos $c$ y $d$. Así que podemos ver que $g$ es diferenciable en $[-2, 3]$ y $g(-2) = 4, g(3) = 9$ y por lo tanto $$\int_{4}^{9}x\,dx = \int_{-2}^{3}u^{2}\cdot 2u\,du$$ y ambos lados se evalúan en $65/2$. Puedes ver que se obtiene la misma respuesta cuando escribimos la integral como $$\int_{2}^{3}u^{2}\cdot 2u\,du\,\text{ o }\int_{-2}^{-3}u^{2}\cdot 2u\,du\,\text{ o }\int_{2}^{-3}u^{2}\cdot 2u\,du$$
