Un integral con $e^{1+e^x}$ tenía problemas de trabajo a través de

Question

Tuve una prueba de análisis de esta madrugada y llegó a través de esta integral, que yo no podía entender. Parte de él es fácil, pero después de la integración de $y$ está a la izquierda de la integración de $xe^{1+e^x}$ que me tenía perplejo.

$\displaystyle\int^1_0 \int^{1 + e^x}_x xe^y dy dx$

¿Qué se me olvida? Yo no podía pensar en ninguna sustituciones o cualquier cambio de las variables que me ayude aquí.

Wolfram alpha me da la solución numérica, pero no proporciona el paso-por-paso, de lo contrario me iba a pie a través de eso.

Answer 1

Desde mis intentos de encontrar un 'bonito' solución han cumplido con el fracaso, déjame al menos, seguir el pensamiento que he presentado en los comentarios. Recordando que $$e^{e^x-1}=\sum_{n=1}^\infty \dfrac{B_n}{n!}x^n$$ where $B_n$ son los números de Bell, tenemos la integral

$$\int_0^1 x\,e^{e^x-1} dx=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}\int_0^1 x^{n+1} dx=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{(n+2)\,n!}\approx 1.49$$ Pero eso es lo máximo que uno puede ir, ya que esta expresión no parece tener ninguna utilidad formas cerradas (sin duda nada de primaria).