Norma desigualdad del producto

Question

Lo siguiente es acerca de una prueba en Bratteli Robinson vol. 1. Sea $\mathcal{A}$ alguna C*-álgebra. Mostrar que $$\mathcal{B}=\{(A,\alpha)~|~A\in\mathcal{A}, \alpha\in\mathbb{C}\}$$ junto con la norma $$\lVert(A,\alpha)\lVert=\sup_{B\in\mathcal{A}, \lVert B\lVert\leq 1} \lVert AB+\alpha B \lVert$$ y las operaciones $$(A,\alpha)(B,\beta)=(AB+\alpha B+\beta A, \alpha \beta)$$ $$\lambda(A,\alpha)=(\lambda A, \lambda\alpha)$$ $$(A,\alpha)+(B,\beta)=(A+B, \alpha+ \beta)$$ $$(A,\alpha)^*=(A^*,\bar{\alpha})$$ es de nuevo una C*-álgebra. Entendí la prueba en general, pero no veo por qué se cumple la desigualdad de producto de norma ($\lVert (A,\alpha)(B,\beta)\lVert\leq\lVert (A,\alpha)\lVert \lVert(B,\beta)\lVert$). ¿Alguna pista?

Answer 1

Pista: Inserta $\dfrac{BC + \beta C}{\Vert BC + \beta C\Vert}$ en el cálculo de la norma de $(A,\alpha)$ y compara con insertar $C$ en el cálculo de la norma de $(A,\alpha)(B,\beta)$.