He leído en mis apuntes de clase que podemos encontrar un automorfismo de la esfera de Riemann que envía los puntos rama de la función elíptica de Weierstrass sobre el toro complejo $X=\mathbb{C} / {\mathbb{Z}[i]}$ (es decir, la imagen por $\wp$ de sus cuatro puntos de ramificación) a un conjunto dado de cuatro puntos.
Más concretamente, sé que los puntos de ramificación de $\wp$ son $e_0=\pi(0)$, $e_1=\pi(i/2)$, $e_2=\pi(1/2)$, $e_3=\pi((1+i)/2)$ (donde $\pi:X \rightarrow \mathbb{C}$ es la proyección canónica), y según los apuntes de clase existe un automorfismo $\phi: \hat{\mathbb{C}} \rightarrow \hat{\mathbb{C}} $ tal que $\phi \circ (\wp(e_1),\wp(e_2),\wp(e_3),\wp(e_0))= (0,\infty,1,-1)$.
He notado que dado que $\wp(iz)=-\wp(z)$, tenemos que $\wp(e_3)=0$ y $\wp(e_1)=-\wp(e_2)$. También sé que $\wp(e_0)=\infty$. Así que estoy buscando un automorfismo $\phi: \hat{\mathbb{C}} \rightarrow \hat{\mathbb{C}} $ tal que $\phi \circ (\wp(e_1),-\wp(e_1),0,\infty) = (0,\infty,1,-1)$.
Sé que los automorfismos de la esfera de Riemann son de la forma $z \rightarrow \frac{az+b}{cz+d}$, y he intentado resolver el sistema pero no encontré una solución. ¿Me equivoqué en algo, o podría haber un error en la enunciación del problema? Me parecería más lógico si la imagen de los cuatro puntos por $\wp$ fuera $(1,-1,0,\infty)$ en lugar de $(0,\infty,1,-1)$, porque entonces supongo que el automorfismo podría ser dado por $a=1$, $b=0$, $c=\wp(e_1)$, $d=0$.
