Transformación de la combinación lineal de la función del coseno y del seno

Question

En la demostración de la Transformación de $a\cos\left(\, x\,\right)+b\sin\left(\, x\right)$ a $r\cos\left(\,\phi - x\,\right)$

\begin{align} a\cos\left(\, x\,\right) + b\sin\left(\, x\,\right) &=\,\sqrt{\,a^{2} + b^{2}\,}\, \left[\,\frac{a}{\,\sqrt{\, a^{2} + b^{2}\,}\,}\,\cos\left(\, x\,\right) +\frac{b}{\,\sqrt{\, a^{2} + b^{2}\,}\,}\,\sin\left(\, x\,\right)\,\right]\, \\[2mm]&=\,\sqrt{\,a^{2} + b^{2}\,}\,\left[\, \cos\left(\,\phi\,\right)\cos\left(\, x\,\right) + \sin\left(\,\phi\,\right)\sin\left(\,x\,\right) \,\right] \\[2mm]&=\,\sqrt{\, a^{2} + b^{2}\,}\,\cos\left(\,\phi - x\,\right) \end{align}

¿por qué sacamos el factor $\,\sqrt{\, a^{2} + b^{2}\,}$ de dónde vino esta idea?. Parece que salió de la nada.

Answer 1

Comienza en "el otro extremo" del problema. Si queremos $$a\cos x+b\sin x=r\cos(\phi-x)$$ y expandimos el lado derecho, entonces lo que estamos buscando es $$a\cos x+b\sin x=r\cos\phi\cos x+r\sin\phi\sin x\ .$$ Si esto es cierto para todos los valores de $x$ entonces necesitamos $$a=r\cos\phi\quad\hbox{y}\quad b=r\sin\phi\ .$$ Al elevar al cuadrado y sumar estas ecuaciones, $$a^2+b^2=r^2\cos^2\phi+r^2\sin^2\phi=r^2$$ y así $$r=\sqrt{a^2+b^2}\ .$$ Ahí es de donde proviene la idea de factorizar $\sqrt{a^2+b^2}.

Answer 2

La idea detrás de la prueba se basa en notar que

$$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=1.\tag1$$

Esto es análogo a la identidad pitagórica

$$\cos^2\phi+\sin^2\phi=1.\tag2$$

Así que para todos los valores de $a$ y $b$ podemos obtener una expresión que satisface $(2)$ simplemente factorizando $\sqrt{a^2+b^2}$, ¿pero de qué manera será útil esto? Desde $(1)$ y $(2)$ podemos decir que existe un ángulo $\phi$ tal que

$$\cos\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad\sin\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},$$ o $$\cos\phi=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\qquad\sin\phi=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$

Todo esto nos permitirá transformar $a\cos x+b\sin x$ en una expresión de la forma

$$\text{constante}\cdot(\sin\phi\cos x\pm\cos\phi\sin x),$$ o $$\text{constante}\cdot(\cos\phi\cos x\pm\sin\phi\sin x).$$

Estos dos resultados provienen de las fórmulas de adición de ángulos, lo que nos permitirá escribirlo en la forma $r\cos(\phi\pm x)$ o $r\sin(\phi'\pm x)$.

En conclusión, la prueba se reduce a determinar cómo transformar los coeficientes de $\cos$ y $\sin$ de manera que sean exactamente iguales al $\cos$ y $\sin$ de un ángulo. El resto sigue de las fórmulas de adición de ángulos.