Quiero confirmar que tengo la respuesta correcta a una pregunta de "integrales iteradas".

Question

Para números reales positivos $R$ y $r$, sea $$E(R, r) = \{\frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{R^2} + \frac{x_4^2}{r^2}\leq 1\}$$ Usando una integral iterada, calcula el volumen de $E(R,r)$.

No estoy seguro si lo hice correctamente ya que no utilicé una integral iterada: \begin{align} \int_{-r}^{r}R^2(1 - \frac{x_4^2}{r^2})\;dx_4 &= R^2(x_4 - \frac{x_4^3}{3r^2})\Big|^r_{-r} \\ &=2R^2(r - r / 3) \\ &= \frac{4R^2r}{3} \end{align}

Answer 1

Con el cambio de coordenadas sugerido en el comentario $E(R,r)$ se transforma en la bola unidad $$D:y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2\leq 1$$ en $\mathbb R^4$. De acuerdo con la regla para cambiar coordenadas en integrales múltiples, $$ \text{vol}\,(E(R,r))=\int_{E(R,r)}1\,dx_1\,dx_2\,dx_3\,dx_4= \int_D \frac{d\mathbf x}{d\mathbf y}\,dy_1\,dy_2\,dy_3\,dy_4 $$ donde $$ \frac{d\mathbf x}{d\mathbf y} $$ es el determinante de la matriz jacobiana, es decir, el determinante de la matriz que consiste en las derivadas parciales $\frac{\partial x_j}{\partial y_k}$ en la posición $(j,k)$. En este caso, la matriz jacobiana es diagonal, con entradas diagonales $R$, $R$, $R$ y $r$. Por lo tanto, $$ \frac{d\mathbf x}{d\mathbf y}=R^3r, $$ y $$ \text{vol}\,(E(R,r))=\int_D R^3r\,dy_1\,dy_2\,dy_3\,dy_4=R^3r\,\text{vol}\,(D). $$ Ahora, estás de vuelta en terreno seguro, si lo entiendo correctamente.