Función de simetría en el eje y en (anti)derivadas

Question

Si para una función f la ecuación f(x) = f(-x) es verdadera, ¿también es automáticamente verdadera para todas sus derivadas y antiderivadas?

Answer 1

La convención estándar en inglés es que si $f(-x)=f(x)$ para todo $x$, entonces $f$ se llama una función par. Si $f(-x)=-f(x)$ para todo $x$, entonces $f$ se llama una función impar.

Una aplicación rutinaria de la Regla de la Cadena muestra que la derivada (si existe) de una función par es impar, y que la derivada de una función impar es par.

Pero una antiderivada de una función par no tiene por qué ser impar, debido a la constante de integración.

Sin embargo, si $f$ es una función par que tiene una antiderivada, entonces $f$ tiene una antiderivada impar.

Supongamos que $F'(x)=f(x)$ para todo $x$, donde $f$ es par. Sea $$G(x)=\frac{F(x)-F(-x)}{2}.$$ Es fácil ver que $G$ es impar. Pero nota que $$G'(x)=\frac{1}{2}\left(f(x)-(-1)f(-x)\right)=f(x).$$

Answer 2

Para las derivadas de $f$: usa la regla de la cadena. Las funciones simétricas se convierten en funciones antisimétricas y viceversa bajo diferenciación. Podemos usar esto para generalizar a derivadas de orden superior.

Si $F$ es una anti derivada de una función distinta de cero $f$, entonces no puede ser simétrica (o su derivada, que es $f$, sería antisimétrica, pero no lo es). ¿Es necesariamente antisimétrica? No, porque si $F$ es antisimétrica y distinta de cero, entonces $F+C$ para una constante distinta de cero $C$ no es antisimétrica (tendríamos $-\big(F(x)+C\big)=-F(x)+C$, lo que implica $C=0$), sin embargo $F+C$ es otra anti derivada de $f$.

Sin embargo, puede haber una anti derivada particular antisimétrica, como ocurre con $F=\sin$ y $f=\cos$.