El plano $lx+my+nz=0$ se mueve de tal manera que su intersección con los planos $ax+by+cz+d=0$ y $a'x + b'y + c'z+d'=0$ son perpendiculares. Muestra que el vector normal al plano que pasa por el origen describe, en general, un cono de segundo grado y encuentra su ecuación.
Mi análisis
Aquí el plano dado $lx+my+nz=0$ pasa por el origen, por lo que considerar un vector normal caído desde el origen es un término incorrecto.
¿En qué estoy equivocado?
Soham
La intersección con el primer plano da la siguiente línea (llega a esto solo por álgebra lineal):
$$\frac x{cm-bn}=\frac y{an-cl}=\frac z{bl-am}$$
De manera similar, la intersección con la segunda línea es:
$$\frac x{c'm-b'n}=\frac y{a'n-c'l}=\frac z{b'l-a'm}$$
Para que estas líneas sean perpendiculares, el producto interno de los ratio de dirección debe ser 0, es decir, $$(cm-bn)(c'm-b'n)+(an-cl)(a'n-c'l)+(bl-am)(b'l-a'm)=0$$ es decir, $$(bb'+cc')l^2+(cc'+aa')m^2+(aa'+bb')n^2-(ab'+a'b)lm-(bc'+b'c)mn-(ac'+a'c)ln=0$$
Intenta demostrar que esta es la ecuación de un cono.
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