¿Cómo verificar que $rk(L)+rk(J)=1+rk(L)$?

Question

Sé que en este sitio se ha demostrado que $\operatorname{rank}(A + B) \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)$.

Lo que aún quiero ahora es una aplicación de este teorema o el método de demostración de este teorema para mostrar que $\operatorname{rank}(L + J) =1 + \operatorname{rank}(L)$.

L es una matriz Laplaciana de un grafo simple (V,E), y J es una matriz cuadrada cuyas entradas son unos y tiene la misma dimensión que L.

Estoy seguro de que esto no es un duplicado.

Answer 1

Ya sabes que $rk(L+J)\leq 1+rk(J)$. Queremos demostrar la igualdad. Escribimos $$L=D-A,$$ donde $A$ es la matriz de adyacencia y $D$ es la matriz diagonal cuya diagonal está dada por los grados de los vértices.

Además, definimos el hiperplano

$$H=\left\{v\in \mathbb R^n|\sum v_i=0 \right\}.$$

Observa que $$H=\text{ker}(J)$$ Lo haría en tres pasos

1) $\text{ker}(L+J)\cap H \subseteq \text{ker}(L)$.

2) $\text{ker}(L+J)\subseteq H$ (Por lo tanto $\text{ker}(L+J)\subseteq \text{ker}(L)$).

3) $\exists u\in \text{ker}(L)\smallsetminus \text{ker}(L+J)$.

Prueba de 1: Si $v\in\text{ker}(L+J)\cap H$, entonces $$0=(L+J)v=Lv.$$

Prueba de 2: Si $v\in \text{ker}(L+J)$ entonces $$0=v^t(L+J)v=v^tLv+\left(\sum v_i\right)^2$$ Dado que $L$ es simétrica y semidefinida positiva, debe ser que tanto $$v^tLv=\left(\sum v_i\right)=0,$$ por lo tanto $v\in H$.

Prueba de 3: Simplemente elige $v=(1,1,\ldots,1)^T$. Tenemos que $Lv=0$ y $(L+J)v=nv$.

CONCLUSIÓN: $$\dim \text{ker}(L+J)+1\leq \dim \text{ker}(L)$$ y así $$rk(L+J)\geq 1+rk(L)$$