Cada $a^p$ está en el centro del grupo multiplicativo para cada elemento $a$ de $G$ donde $|G| = p^3$ y $p$ es primo

Question

Aquí está el problema:

Cada $a^p$ está en el centro del grupo multiplicativo para cada elemento $a$ de $G$ donde $|G| = p^3$ y $p$ es primo.

Leí la solución en línea, sin embargo estoy un poco confundido en algunas partes.

Si $G$ es abeliano no hay nada que probar. De lo contrario, $|Z(G)| = p$ y $G/Z(G) \cong \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$. Por lo tanto, para cualquier $a \in G$ tenemos que $\overline{a}^p = 1$ donde $\overline{a}$ denota la imagen de $a$ en $G/Z(G)$. Por lo tanto, $a^p \in Z(G)$

No entiendo esta parte:

Entonces, para cualquier $a \in G$ tenemos que $\overline{a}^p = 1$ donde $\overline{a}$ denota la imagen de $a$ en $G/Z(G)$, ¿cómo llegamos a la conclusión de que $\overline{a}^p = 1$?

¿Alguien podría por favor aclarar esta confusión?

Answer 1

Si $G$ y $H$ son dos grupos y $(g,h) \in G \times H$, entonces $o\big((g,h)\big) = \text{lcm}(o(g),o(h))$. Entonces, si tomamos $G = H = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, todos los elementos no identidad de $G$ y $H$ tienen orden $p$. ¿Cuál podría ser el mínimo común múltiplo de los órdenes de esos elementos? ¿Podría ser $p^2$, por ejemplo?

Answer 2

Sin productos directos. Para $G$ no abeliano, $|G/Z(G)|=p^2$, así que para un elemento no central $a\in G$, $Z(G)a$ tiene orden de $p$ o $p^2$. En el segundo caso, $G/Z(G)$ es cíclico, y por lo tanto $G$ es abeliano: contradicción. Por lo tanto, $Z(G)a$ tiene orden de $p$ para cada $a\in G$ no central, y por lo tanto $a^p\in Z(G)$, lo cual se cumple para cada $a\in G$ (central y no central).