Teorema de Trabajo-Energía en un resorte con masa

Question

Supongamos que tienes un resorte con una cierta masa (en el sentido de que el resorte tiene masa, no en el sentido de que el resorte tiene una masa adjunta al extremo móvil) que está comprimido cierta distancia y luego se suelta. Uno de sus extremos está fijo a una pared.

Supongamos para esta pregunta que el resorte es horizontal, por lo que la gravedad no realiza ningún trabajo, y que el resorte no está sujeto a fricción o resistencia del aire mientras se mueve.

Hasta donde yo puedo decir, la única fuerza externa que actúa sobre el resorte en la dirección en la que se mueve es la fuerza de la pared que mantiene fijo el extremo fijo. Sin embargo, dado que esa fuerza se aplica a un punto que no se mueve, no realiza ningún trabajo sobre el resorte.

Entonces, según el teorema trabajo-energía, el cambio en la energía cinética del resorte debería ser cero, pero a medida que regresa a su estado sin comprimir, debería tener cierta energía cinética. ¿En dónde me equivoqué en mi cálculo?

Answer 1

La única fuerza externa que actúa sobre el sistema resorte-masa como un todo es la fuerza que mantiene el extremo fijo estacionario. Como mencionas, el punto de aplicación de esta fuerza no se mueve, por lo que esta fuerza no realiza trabajo sobre el sistema. Por lo tanto, la energía total del sistema resorte-masa es constante.

Sin embargo, si consideramos el resorte y la masa por separado, entonces necesitamos considerar la tensión en el resorte (cuando consideramos todo el sistema resorte-masa, la tensión en el resorte es una fuerza interna, por eso la hemos ignorado hasta ahora). A medida que la masa se mueve de un lado a otro, la tensión en el resorte realiza trabajo sobre la masa y la masa a su vez ejerce una fuerza sobre el resorte. La Tercera Ley de Newton nos dice que la fuerza ejercida por el resorte sobre la masa y la fuerza ejercida por la masa sobre el resorte son iguales y opuestas.

Por lo tanto, el trabajo realizado por el resorte sobre la masa (llamémoslo $W_1$) y el trabajo realizado por la masa sobre el resorte (llamémoslo $W_2$) suman cero (por eso la energía total del sistema resorte-masa es constante). Sin embargo, $W_1$ y $W_2$ no son individualmente cero, simplemente tienen que sumar cero. Cuando la tensión en el resorte y la velocidad de la masa están en la misma dirección, entonces $W_1 > 0$ y $W_2 < 0$, la energía cinética de la masa está aumentando, y la energía potencial almacenada en el resorte está disminuyendo. Cuando la tensión en el resorte y la velocidad de la masa están en direcciones opuestas, entonces $W_1 < 0$ y $W_2 > 0$, la energía cinética de la masa está disminuyendo, y la energía potencial almacenada en el resorte está aumentando.

Answer 2

Supongo que estás considerando un resorte con algo de masa y una distribución constante de masa. El resorte está comprimido una distancia $x$. Ahora, considera el extremo del resorte y toma una longitud muy pequeña $\delta l$ en este extremo. Dado que el resorte tiene una distribución de masa uniforme, esta $\delta l$ tiene una pequeña cantidad de masa $\delta m$. Ahora el resorte se comportaría como si la cantidad de masa $\delta m$ estuviera unida a su extremo y la compresión almacenaría energía potencial. De la misma manera, podemos tomar la longitud y masa de todo el resorte en pequeños trozos y, con la integración, obtener la energía potencial neta almacenada. Sin disipación, ahora podemos aplicar el teorema de Trabajo-Energía.

En cuanto a la pared, la fuerza ejercida por la pared es simplemente la reacción normal de la fuerza de compresión que estás aplicando en el resorte. Siempre es igual y opuesta a la fuerza de compresión. Además, la fuerza normal de la pared es opuesta a la compresión (también a la extensión), el trabajo realizado por ella es negativo y se almacena como energía potencial. Espero que mi respuesta te ayude.

Answer 3

Disculpas por la confusión, todos, creo que lo resolví.

Estaba intentando aplicar el teorema trabajo-energía tal como se presenta en mi libro de texto, que el trabajo total realizado sobre una partícula por fuerzas externas es igual al cambio en su energía cinética.

La resorte, por supuesto, no es una partícula y no puede ser representada como tal ya que diferentes partes de ella se mueven a diferentes velocidades. El libro menciona explícitamente que el teorema tal como se presenta no puede aplicarse a sistemas compuestos como el resorte.

El enfoque de la energía potencial funciona y da la respuesta correcta, pero eso es en el siguiente capítulo y yo estaba intentando resolver una pregunta usando solo las herramientas del propio capítulo.

De todas maneras, gracias por ayudarme.