Sea $T:\mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{C}^n$ una transformación lineal para $n\ge 2$. Supongamos que $1$ es el único valor propio de $T$. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
$(a) T^k\ne I$, para cualquier $k \in \mathbb{N}$
$(b)(T-I)^{n-1}=0$
$(c)(T-I)^n=0$
$(d) (T-I)^{n+1}=0$
Mis intentos
$(a)$ es falso tomando $T=I$
Para $(c)$ y $(d)$,
El campo subyacente es algebraicamente cerrado, por lo que el polinomio minimal es un producto de factores lineales es decir $(x-1)^k$ donde $1\le k \le n$ mientras que el polinomio característico es $(x-1)^n$ entonces $(c)$ y $(d)$ son verdaderos.
Suponiendo que $(b)$ es falso, necesito ayuda para encontrar un contraejemplo. Gracias por sus sugerencias.
