¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de $5$ personas todas sean rubias? ¿al menos dos de ellas sean rubias?

Question

Estoy lidiando con este problema de probabilidad y no sé qué hacer. Agradecería mucho si pudieras ayudarme. Gracias de antemano.

En una población de $80$ personas, $30\%$ son rubias y $70\%$ son morenas. Si tomamos una muestra de $5$ chicos,

1. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean rubios?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos sean rubios?

Para el primero, pensé que debería ser, por la regla de Laplace, $\frac{24\choose 5}{80\choose 5}$. Pero, también creo que es una distribución binomial y por lo tanto debería ser $(0.3)^5$. Sin embargo, estas respuestas no coinciden.

Answer 1

Si se trata de una selección de $5$ personas distintas de un total de $80$, entonces debe aplicarse la distribución hipergeométrica (como hiciste). No binomial. Eso se aplica si las personas son reemplazadas después de la selección para que una persona pueda ser seleccionada más de una vez. Por lo tanto, tu respuesta de 1) está bien.

También para 2) usamos la distribución hipergeométrica y si $W$ denota el número de rubias, encontramos la probabilidad: $$P(W\geq2)=\sum_{w=2}^5P(W=w)=\sum_{w=2}^5\frac{\binom{24}w\binom{56}{5-w}}{\binom{80}5}$$

Una suma de $4$ términos. Podemos simplificarla un poco así: $$P(W\geq2)=1-P(W\leq1)=1-P(W=0)-P(W=1)=1-\frac{\binom{24}0\binom{56}{5}}{\binom{80}5}-\frac{\binom{24}1\binom{56}{4}}{\binom{80}5}$$