Sé que una integral de $0$ a $x$ de una función de $x$ es en sí misma una función, por lo que quiero saber si hay alguna condición que la haga discontinua.
No he restringido si $f(x)$ es continua o no, así que creo que se deben considerar ambas opciones. Por lo tanto, si el integrando es continuo, entonces la integral también lo es.
No, al menos no con la noción usual de integral de cálculo (con medida de Lebesgue en el fondo) y $f$ siendo acotada. Sea $(x_n)$ una sucesión no negativa que converge a $x$ y $f$ una función acotada tal que la integral $I_x=\int_0^xf(y)~dy$ es finita y está bien definida para todo $x\geq 0.
Supongamos que $I_{x_n}$ no converge a $I_x$. Entonces hay un $\epsilon>0$ tal que para todo $\delta>0$, existe un $x'$ tal que $|I_x-I_{x'}|>\epsilon$ y $|x-x'|<\delta$. Sea $B>0$ tal que $-B< f(x)0$. En particular, para $\delta<\epsilon/(B2)$, la integral no puede variar tanto y llegamos a una contradicción.
Una función continua en un intervalo cerrado y acotado, por supuesto, ya está acotada.
Si la función integrada es continua, entonces la integral será continua.
Este artículo de Jeffrey 'La importancia de ser continuo' es una buena lectura sobre esto.
Si la función integrada no es continua y no está acotada (por ejemplo $\int \dfrac {dx}{x^2}$) entonces la integral puede no ser continua (ver el artículo de Jeffreys también para una discusión al respecto).
También puedes integrar 'distribuciones' (¡no 'funciones' reales!) como $s\;\delta(x-x_0)$ que crearán un salto de altura $s$ en $x=x_0$.
Sea $f$ una función y denotemos $F(x)=\int_0^xf(t)\,dt$. Para que $F$ esté bien definida, $f$ debe ser integrable (por ejemplo, en el sentido de Riemann). Es un hecho que en este caso $F$ siempre es continua. Aquí hay una prueba:
Dado que $f$ es integrable, está acotada: $m\leq f(x)\leq M$ para algunos $m,M$ y todos los $x$ en una región adecuada. Luego, tomando $\varepsilon>0$ y asumiendo $|x-y|<\frac{\varepsilon}{\max\{|m|,|M|\}}$, tenemos $$|F(x)-F(y)|=\left|\int_0^xf(t)\,dt-\int_0^yf(t)\,dt\right|=\left|\int_y^xf(t)\,dt\right| \leq \max\{|m|,|M|\}|x-y|\leq \varepsilon $$ Esto muestra que $F$ es continua.
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