Coordenadas libres de las ecuaciones de Cauchy-Riemann

Question

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden ver como un sistema de 2 EDP para dos funciones en el plano:

$$ \begin{align*} L_{\frac{\partial}{\partial x}}(u) &= L_{\frac{\partial}{\partial y}}(v) \\ L_{\frac{\partial}{\partial y}}(u) &= -L_{\frac{\partial}{\partial x}}(v) \end{align*} $$

donde $L_X$ denota la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial $X$. Dado que los campos vectoriales $\frac{\partial}{\partial x}$ y $\frac{\partial}{\partial y}$ conmutan, tenemos condiciones de integrabilidad naturales:

$$ \begin{align*} \Delta u &= 0\\ \Delta v &= 0, \end{align*} $$

y sabemos que existen soluciones suaves (incluso analíticas).

Me sorprende que no haya encontrado resultados sobre la generalización natural de esas ecuaciones, a saber:

$$ \begin{align*} L_A(u)&=L_B(v)\\ L_B(u)&=-L_A(v) \end{align*} $$

donde $A$ y $B$ son campos vectoriales suaves linealmente independientes en $\mathbb{R}^2$. También podemos derivar condiciones de integrabilidad, pero obtenemos dos EDP elípticas complicadas y no es trivial que exista una solución.

Pregunta: ¿Existen referencias que traten estas ecuaciones? ¿y que den condiciones para la existencia de soluciones suaves $C^{\infty}$?

Answer 1

Estas son las ecuaciones de Cauchy-Riemann, pero con respecto a una estructura compleja diferente en el plano.

Con más detalle: los campos vectoriales $A$ y $B$ determinan de manera única una métrica de Riemann en $\mathbb R^2$, al declarar que $(A,B)$ es un marco ortonormal. Para cualquier métrica de Riemann en $2$d, en un entorno de cada punto existen coordenadas isotérmicas, es decir, coordenadas suaves $(x,y)$ en las que la métrica tiene la forma $f(x,y)^2(dx^2 + dy^2)$ para alguna función suave y positiva $f$. Si es necesario, podemos intercambiar $x$ e $y$ para que estas coordenadas determinen la misma orientación que el marco $(A,B)$.

En estas coordenadas, tanto $(A,B)$ como $(f^{-1}\partial/\partial x, f^{-1}\partial/\partial y)$ son marcos ortogonales orientados, por lo que están relacionados (localmente) por una rotación que depende suavemente del punto: para alguna función suave $\theta$, \begin{align*} A &= f(x,y)^{-1}\left(\cos\theta(x,y) \frac{\partial}{\partial x} - \sin\theta(x,y) \frac{\partial}{\partial y}\right),\\ B &= f(x,y)^{-1}\left(\sin\theta(x,y) \frac{\partial}{\partial x} + \cos\theta(x,y) \frac{\partial}{\partial y}\right). \end{align*} Entonces un poco de álgebra lineal muestra que el par original de ecuaciones es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann en estas coordenadas.