Tiempo promedio que necesita una hormiga para salir al bosque

Question

Una hormiga tiene tres pasajes para elegir:

1. El Pasaje A tarda 7 minutos en sacar a la hormiga de la casa de la hormiga hacia el bosque.

2. El Pasaje B tarda 8 minutos en devolver a la hormiga al punto de partida donde se encuentra.

3. El Pasaje C tarda 12 minutos en devolver a la hormiga al punto de partida donde se encuentra.

La hormiga elige un pasaje al azar hasta salir de la casa de la hormiga hacia el bosque.

¿Cómo calcular el tiempo promedio esperado que la hormiga necesita para salir?

¿El simple valor medio (7 + 8 + 12) / 3 = 9 responde la pregunta?

Answer 1

$$T=7/3+(8+T)/3+(12+T)/3=9+2T/3$$ $$T/3=9$$ $$T=27$$ Desde el punto de inicio, cada uno de los 3 caminos es igualmente posible. Dos caminos te llevan de vuelta al punto de inicio.

Answer 2

Para responder a esta pregunta, debes sumar sobre todos los posibles caminos que la hormiga puede tomar, y obtener la duración de ese camino, multiplicada por la probabilidad de tomar ese camino. Esto es, $$E[T] = \sum_{\text{path} \in \text{possible paths}} p(\text{path}) T(\text{path})$$

Cada posible camino toma el Pasaje $A$ solo una vez, pero puede tomar los pasajes $B$ y $C$ cualquier cantidad de veces, en cualquier permutación. Entonces los caminos posibles pueden ser $A$, $BA$, $BBCCA$, $BCCBA$, etc.

Supongamos que las probabilidades de elegir los pasajes $A,$ $B$, y $C,$ son respectivamente $p_a$, $p_b$, y $p_c$. Entonces, por ejemplo, la probabilidad de tomar el camino $CBBCCA$ es $p_a p_b^2 p_c^3.$ Y, debido a que hay ${5 \choose 2} = 10$ formas de tomar $B$ dos veces y $C$ tres veces, la contribución del tiempo de camino esperado dado por la posibilidad de 3 $C$ y 2 $B$ es $10 p_a p_b^2 p_c^3 (T_a + 2 T_b + 3 T_c)$, donde $T_a$, $T_b$, y $T_c$ son los tiempos de camino de cada pasaje respectivamente.

Lo anterior da la contribución al tiempo esperado para tomar dos $B$ y tres $C$ antes de $A$. Pero en general, debes sumar sobre la contribución del tiempo esperado de todas las combinaciones posibles de caminos $B$ y $C$ antes del $A$. Lo haré a continuación, pero te sugiero que te detengas aquí e intentes hacerlo por ti mismo primero.

---

SPOILER

En general, la hormiga puede tomar un pasaje no-$A$ cualquier cantidad de veces entre cero e infinito antes de tomar el pasaje $A$, y para esa cantidad de veces, puede ser cualquier combinación de pasajes $B$ y $C$. Entonces, para obtener el tiempo de camino esperado, sumamos la contribución de todas las posibilidades de pasajes, multiplicadas por su tiempo, lo cual se ve así,

$$E[T] = T_a + p_a \sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n {n \choose i} p_b^i p_c^{n-i} [i T_b + (n-i) T_c].$$

Estas sumas se pueden evaluar. Usando el Teorema Binomial y tomando la derivada, puedes mostrar que, $$\sum_{i=0}^n i {n \choose i} x^i y^{n-i} = n x (x+y)^{n-1}$$ y

$$\sum_{i=0}^n (n-i) {n \choose i} x^i y^{n-i} = n y (x+y)^{n-1}.$$

Usando estas identidades, obtenemos

$$E[T] = T_a + p_a (p_b T_b + p_c T_c) \sum_{n=0}^\infty n (p_b + p_c)^{n-1}.$$

Tomando la derivada de la suma de la famosa serie geométrica, puedes mostrar que, para $|x| < 1$,

$$\sum_{n=0}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2}.$$

Notando que $1 - (p_b + p_c) = p_a$, obtenemos,

$$E[T] = T_a + \frac{1}{p_a} (T_b p_b + T_c p_c).$$

Si tomamos $p_a = p_b = p_c = 1/3$ y tus valores para los tiempos, obtenemos $E[T] = T_a + T_b + T_c$ que es 27 minutos.

Answer 3

Hola donkordr y bienvenido a CV.
No, la media desafortunadamente no responde la pregunta.

Puedes leer tu problema como una Cadena de Markov con dos estados: bosque y casa de hormigas.
Ahora, tus probabilidades de transición son:

• Desde el bosque: (no importa realmente ya que es la meta) $p=1$ para quedarse en el bosque
• Desde la casa de hormigas: $p_1=\frac{2}{3}$ para quedarse en la casa de hormigas y $p_2=\frac{1}{3}$ para ir al bosque

Queremos saber cuántos movimientos se necesitan en promedio para llegar al bosque - y puedes hacerlo como se explica aquí

Esto resulta en un promedio de 3 movimientos.
De estos 3 movimientos, uno y solo uno será el que conduzca al bosque, mientras que el resto será cualquiera de los otros. El tiempo promedio de un movimiento que no va al bosque es $(8+12)/2 = 10$ minutos.

Como resultado, el tiempo promedio antes de llegar al bosque es de $27$ minutos: $7$ desde el último paso, y $2\cdot10$ desde los anteriores.

PD - hay otras formas de hacer este cálculo con estados intermedios que podrían ser más limpios, pero esto parecía lo suficientemente fácil.

Answer 4

Permítanme unirme con una explicación que, al menos para mí, parece aún más fácil:

Primero, observa que los caminos $B$ y $C$ pueden unirse en un único camino $X$, con un tiempo de paso igual a los tiempos medios de $B$ y $C$, es decir, $10$ minutos. Esto se debe al hecho de que estos caminos tienen la misma probabilidad. Si no lo tuvieran, necesitaríamos tomar un promedio ponderado. La probabilidad de tomar el camino $X$ es la suma de las probabilidades de tomar el camino $B$ o $C$: $P(X) = P(B) + P(C) = 2/3$.

Ahora, hay las siguientes formas de llegar al bosque:

$$\begin{array}{lrr} i & \text{camino}_i & P(i) & T(i)\\ \hline 0 & A & 1/3 & 7\\ 1 & XA & 2/3 \cdot 1/3 & 10 + 7 \\ 2 & XXA & (2/3)^2 \cdot 1/3 & 20 + 7 \\ 3 & XXXA & (2/3)^3 \cdot 1/3 & 30 + 7 \\ & ... & \\ i & (i \cdot X)A & (2/3)^i \cdot 1/3 & 10\cdot i + 7 \end{array}$$

y el tiempo esperado es:

$$\begin{array}{lcl} E(T) & = & \sum_{i=0}^\infty P(i)T(i) \\ & = & 1/3 \cdot \sum_{i=0}^\infty \left( 10 \cdot i + 7 \right) \cdot(2/3)^i \\ & = & 10/3 \cdot \sum_{i=0}^\infty i \cdot(2/3)^i + 7/3 \cdot \sum_{i=0}^\infty (2/3)^i\\ & = & 10/3 \cdot 6 + 7/3 \cdot 3 \\ & = & 27 \\ \end{array}$$

Answer 5

Forma típica de resolver esto:

La hormiga tomará el camino a y terminará o tomará el camino b o c y regresará a su posición de partida.

Sea $k$ el número de veces que la hormiga ya ha tomado el camino b o c. Sea $T_k$ el valor esperado para el tiempo de finalización para una hormiga que ya tomó $k$ veces el camino. Luego, el valor esperado para una hormiga con $k$ pasos se puede expresar en términos de una hormiga con $k+1$ pasos.

$$T_k = \underbrace{\frac{1}{3} 7}_{\substack{\frac{1}{3}\text{ de probabilidad de terminar con el camino} \\ \text{ a en 7 minutos }}} + \underbrace{\frac{1}{3} (T_{k+1} + 8)}_{\substack{\frac{1}{3}\text{ de probabilidad de terminar con el camino b} \\ \text{ en 8 minutos} \\ \text{más lo que la hormiga $k+1$ necesita en promedio }}} + \underbrace{\frac{1}{3} (T_{k+1} +12)}_{\substack{\frac{1}{3}\text{ de probabilidad de terminar con el camino c} \\ \text{ en 12 minutos}\\ \text{ más lo que la hormiga $k+1$ necesita en promedio }}}$$

Dado que las hormigas están en la misma posición de inicio independientemente de la historia (número de pasos $k$), el tiempo promedio es (tienes $T_k = T_{k+1}$ que puedes usar para resolver la ecuación anterior):

$$T_k = \frac{1}{3}7+\frac{1}{3}(8+T_k)+\frac{1}{3}(12+T_k)$$

y después de algunas reorganizaciones

$$T_k = 7+8+12 = 27$$

---

Usando un promedio

Puedes resolver esto con una media, más o menos.

• La hormiga termina al menos con el camino a que al menos toma al menos 7 minutos
• Además, la hormiga tiene una probabilidad de 2/3 de tomar los caminos b o c (cada vez) que tardan en promedio $\frac{8+12}{1+1} = 10$ minutos.

Las veces promedio que la hormiga toma los caminos b o c son:

$$1 \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right) + 2 \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 3 \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^3 + 4 \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^4 + .... = \sum_{k=1}^\infty k \cdot \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^k = 2$$

nota que esto está relacionado con una distribución geométrica y el número promedio de pasos adicionales que la hormiga necesita es 2 (y cada paso toma en promedio 10 minutos). Entonces la hormiga tardará (en promedio):

$$\text{ $7$ minutos $+$ 2 veces $\times$ $10$ minutos $= 27$ minutos}$$

---

Interesantemente: también podrías decir que el tiempo promedio para un paso único es $9$ minutos (lo que calculaste), y el número promedio de pasos es $3$, por lo que la hormiga tarda $3 \times 9 = 27$ minutos (no estabas muy lejos de la solución).