Construcción de números reales: demostrar que $Q$ es un subcampo de $R$

Question

Estoy un poco confundido sobre la prueba presentada en Rudin. Dice que el campo ordenado $Q$ es isomorfo al campo ordenado $Q*$ cuyos elementos son los cortes racionales. Es esta identificación de $Q$ con $Q*$ la que nos permite considerar a $Q$ como un subcampo de $R$.

Ahora, sé que si tengo que demostrar que $A$ es un subcampo de $(B,+,.)$ entonces primero necesito demostrar que $A$ es un subconjunto de $B$ y que las operaciones de campo en $B$ pueden extenderse a $A$. Por ejemplo, si $a, b \in A$ entonces $a+b \in A$ debería ser verdadero.

Ahora, para el caso anterior, sean $p$ y $q$ dos números racionales cada uno representado por los números racionales menores que ellos en $R$. Ahora, si los sumamos usando la operación $+$ en $R$, ¿eso da como resultado al número racional $p+q$? No lo creo.

Answer 1

Tratamos tu pregunta sobre $p+q$. Eso es un gran paso hacia demostrar que $\mathbb{Q}$, bajo las operaciones usuales, y $\mathbb{Q}^\ast$, bajo la adición y multiplicación recién definidas, son isomorfos.

Para cualquier número racional $r$, sea $r^\ast$ el corte asociado con $r$. Entonces queremos probar que $(p+q)^\ast = p^\ast + q^\ast.

Nota que $(p+q)^\ast$ y $p^\ast + q^\ast$ son conjuntos. Presumiblemente ya has demostrado que de hecho $p^\ast + q^\ast$ es un corte, ya que se necesita para mostrar que la operación $+$ en los cortes (los reales) está bien definida.

Para mostrar que dos conjuntos $X$ e $Y$ son iguales, demostramos que cualquier elemento de $X$ es un elemento de $Y$, y viceversa.

Así que sea $r\in (p+q)^\ast$. Entonces $r\lt p+q$. Sea $t=\frac{p+q-r}{2}$, y sea $x=p-t$, $y=q-t$. Nota que $x+y=p+q-2t$ y por lo tanto $x+y=r$.

Entonces $x\lt p$, así que $x\in p^\ast$. De manera similar, $y\in q^\ast$. Entonces por definición $x+y\in p^\ast +q^\ast$. Pero $x+y=r$. Esto completa la prueba en una dirección.

La otra dirección es más fácil. Sea $w\in p^\ast+q^\ast$. Entonces $w=x+y$ para algún $x\in p^\ast$ y $y\in q^\ast$. Así que $x\lt p$ y $y\lt q$, y por lo tanto $x+y\lt p+q$. Se sigue que $x+y\in (p+q)^\ast, es decir,$w\in (p+q)^\ast$.

Hay más por hacer para mostrar que el mapeo que lleva a $r$ a $r^\ast$ es un isomorfismo. Necesitamos demostrar que el mapeo es sobre (muy fácil), y uno a uno (directo). También necesitamos verificar que la multiplicación también se comporta bien, es decir, que $(pq)^\ast=p^\ast q^\ast$. Una dirección de esto tomará algo de trabajo.