Teoría de aproximación en espacios de Banach.

Question

Este semestre estoy tomando una clase sobre teoría de aproximación (centrada principalmente en la mejor aproximación de un elemento en un espacio a partir de un elemento en un subespacio) y hasta ahora la mayor parte de nuestro trabajo se ha realizado en el ámbito de los espacios de producto interno y los espacios de Hilbert.

Naturalmente las cosas siguen bastante fluidamente dentro del marco de un espacio de producto interno, pero ¿qué pasa cuando la teoría de aproximación se practica en un espacio de Banach? ¿Qué resultados en la aproximación de funciones son mucho más difíciles, quizás imposibles, de obtener en un espacio de Banach? ¿Y hay algún problema abierto en el área?

(Después de clase, mi profesor me dijo que hay algunas cosas que podemos hacer al aproximar funciones en un espacio de Hilbert que no podemos hacer en un espacio de Banach; también que hay muchas cosas que aún no se han demostrado en un espacio de Banach que se mantienen en un espacio de Hilbert con respecto a la aproximación de funciones.)

Answer 1

Esta respuesta es, quizás, demasiado estrecha en alcance, pero aún así la daré. Se refiere solo a la ortogonalidad que utilizamos en espacios de producto interno (Hilbert) $H$ para la aproximación y que ya no tenemos en un espacio de Banach general $X$. Como la mejor opción en ausencia de un producto interno, utilizamos la dualidad y los anuladores. En detalle, un $x$ en $X$ no se empareja con otro vector $y$ en $X$ (como lo haríamos si estuviéramos formando el producto interno $\langle x, y\rangle$), sino con un funcional lineal acotado $y$ en $X'$. El conjunto de todos esos funcionales que envían $x$ a cero se llama el anulador de $x$. Más generalmente, pero de manera similar, se define el anulador de un subconjunto de $X$.

También recomiendo "Cálculo en espacios de Banach" de H. Cartan para una serie de usos para la diferenciabilidad en un entorno de espacio de Banach.