Composición de funciones lentamente variables

Question

Una función, $L$ es lentamente variable si para todo $b>0$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{L(bx)}{L(x)}=1.$$

Si dos funciones, $L_1, L_2$ son lentamente variables, y además tenemos que $L_2(x) \to \infty$ cuando $x \to \infty$, estoy atascado en demostrar que $L_1(L_2)$ también es lentamente variable (la composición).

Parece obvio ya que $L_1$ es lentamente variable y al dejar que el argumento del numerador y del denominador tiendan a infinito seguro nos dará un resultado de 1, pero no estoy seguro de cómo demostrar esto analíticamente?

Answer 1

Una buena propiedad de las funciones de variación lenta es que la convergencia en la definición es realmente uniforme en conjuntos compactos, es decir, para todo $0\lt a,$$\lim_{x\to +\infty}\sup_{a\leqslant c\leqslant b}\left\lvert \frac{L(cx)}{L(x)}-1\right\rvert=0.$$Fijemos$c\gt 0$y sea$x_0$tal que para todo$x\geqslant x_0$,$1/2\leqslant L_2(cx)/L_2(x)\leqslant 3/2$y$L_2(x)$. Entonces$$\left\lvert \frac{L_1\left(L_2(cx)\right)}{L_1\left(L_2(x)\right)}-1\right\rvert =\left\lvert \frac{L_1\left(\frac{L_2(cx)}{L_2(x)}L_2(x)\right)}{L_1\left(L_2(x)\right)}-1\right\rvert\leqslant \sup_{1/2\leqslant R\leqslant 3/2}\left\lvert \frac{L_1\left(RL_2(x)\right)}{L_1\left(L_2(x)\right)}-1\right\rvert.$$Dado que$L_2(x)\to +\infty$, la última expresión tiende a$0$a medida que$x$ tiende a infinito.