Sea $1 \leq p <2$ y sea $q$ el conjugado de Holder de $p$ de manera que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Mostrar que para cualquier $\epsilon >0$, existe una función de Schwartz $f \in S(\mathbb{R}^d)$, tal que: $$ \|\hat{f}\|_{L^{q}(\mathbb{R}^d)} \leq \epsilon \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} $$ El ejercicio sugiere que como pista, se debe utilizar la desigualdad de Khintchine: Si $\epsilon_{n}$ es una secuencia IID de variables aleatorias $\mathrm{Unif}(\{-1,1\})$ (elección aleatoria de signos) y $x_n$ es una secuencia (finita) de números complejos, tenemos una constante $C(p) >0$ donde: $$ \frac{1}{C(p)}\left(\sum_{n = 1}^{N}|x_n|^2\right)^{1/2} \leq \left(\mathbb{E}\left[\left(\sum_{n = 1}^N\epsilon_nx_n\right)^p\right]\right)^{1/p} \leq C(p)\left(\sum_{n = 1}^{N}|x_n|^2\right)^{1/2} $$ ¿Alguien tiene alguna idea de cómo aplicar correctamente esta desigualdad?
Respuesta
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Explotamos un truco llamado aleatorización. En términos generales, la idea del truco es introducir algunas señales aleatorias en una suma y luego usar la desigualdad de Khintchine para ver que hay una elección determinística de esas señales que tiene un cierto comportamiento deseado.
Fijemos una función suave no negativa y no nula $\varphi$ soportada en la bola unitaria.
Ahora fijamos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ que soporta una secuencia de variables aleatorias de Rademacher IID $(\epsilon_n)_{n \geq 1}$ como se sugiere en la pista. También fijamos por ahora un $N$ que más tarde se tomará como suficientemente grande (de una manera que depende solo de $\varepsilon$, $p$ y $\varphi$).
Elegimos puntos $x_1, \dots, x_N$ de manera que $\varphi_j(\cdot) = \varphi(\cdot - x_j)$ tengan soportes disjuntos. Definimos para $\omega \in \Omega$, $$\Phi_\omega(x) = \sum_{j=1}^N \epsilon_j(\omega) \varphi_j(x)$$
En primer lugar, observamos que por la condición de soporte disjunto tenemos que $\|\Phi_\omega\|_{L^p} \sim N^{1/p}$ donde la constante depende solo de la elección de $\varphi$.
También $$\mathbb{E} \left[ \|\hat{\Phi}_\omega\|_{L^q}^q \right ] = \mathbb{E}\left[ \int \left | \sum_{j=1}^N \epsilon_j e^{-2\pi i \langle x_j, x \rangle}\hat{\varphi}(x) \right|^q dx \right] \lesssim \int \left(\sum_{j=1}^N |\hat{\varphi}(x)|^2 \right)^{q/2} dx \sim N^{q/2}$$ donde la desigualdad se sigue aplicando el teorema de Fubini seguido de la desigualdad de Khintchine. Se sigue que existe un $\omega \in \Omega$ fijo (lo que significa simplemente una elección de signos para los $\epsilon_j$) tal que $$\|\hat{\Phi}_\omega\|_{L^q} \lesssim N^{1/2}.$$
Por lo tanto, para este $\omega$, $$\frac{\|\hat{\Phi}_\omega\|_{L^q}}{\|\Phi_\omega\|_{L^p}} \lesssim N^{\frac12 - \frac1p}.$$
Dado que $1 \leq p <2$, el lado derecho de esto tiende a $0$ a medida que $N \to \infty$. Esto significa que el argumento muestra que para cada $N$ hay un $\Phi_\omega$ tal que la desigualdad se cumple con una constante implícita que es independiente de $N$, lo que significa que al tomar suficientemente grande $N$ obtenemos el resultado deseado.
