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Elementos nilpotentes de un anillo

Tengo un anillo conmutativo unitario A. Y sabemos que un elemento aA se dice que es nilpotente si an=0 para algún nR. Demuestra las siguientes afirmaciones:

a) A no contiene elementos nilpotentes distintos de cero si y solo si cero es el único elemento en A cuyo cuadrado es cero.

Aquí, lo que he hecho es:

: Trivial. Sabemos que  0aA tal que an=0 para algún nN, en especial para n=2.

: 0 es el único elemento en A cuyo cuadrado es 0. Entonces  0aA tal que an=0 para algún nN ?

Sabemos que si a0, aA, entonces a20. Supongamos que an=0 con a0

Observa que nN, así que debido a la división del algoritmo podemos escribir n como n=n12+r donde r<2, entonces, r=1 o r=0. En ambos casos podemos escribir 0=an=a2n1+r=a2n1ar=(an1)2ar

donde ar0 (porque si r=1, entonces ar=a, si r=0 entonces a0=1A así que an1=0 y podemos escribir n1 como: n1=n22+r1 donde r1<2, entonces, r1=1 o r1=0 y continuar como antes. Sabemos que habrá un número finito de pasos porque $n_k

nk=21+rk con rk<2

Entonces 0=ank=a21+rk=a2ark y sabemos que ark0 así que a2=0 CONTRADICCIÓN con la hipótesis. Entonces a=0 si an=0, aA QED.

¿Está bien probado? No estoy seguro de si hacer el "continuar como antes" está bien con la prueba.

Gracias.

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Joanpemo Puntos 508

Creo que la parte no trivial puede ser más o menos como lo hiciste pero con la siguiente corrección: supongamos que 0aA es tal que a2n+1=0 y este es el mínimo exponente posible (el grado de nilpotencia o algo así), pero entonces

(an+1)2=a2n+1a=0a=0an+1=0

y obtenemos una contradicción con el grado de nilpotencia.

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egreg Puntos 64348

Cuando llegas a 0=a2ark, con ark0, no puedes concluir que $a^2=0.


Supongamos que an=0 y b=an10, para n>1. Entonces b2=(an1)2=a2n2=anan2=0 Por lo tanto...

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