Tengo un anillo conmutativo unitario $A$. Y sabemos que un elemento $a \in A$ se dice que es nilpotente si $a^n=0$ para algún $n \in \mathbb{R}$. Demuestra las siguientes afirmaciones:
a) $A$ no contiene elementos nilpotentes distintos de cero si y solo si cero es el único elemento en $A$ cuyo cuadrado es cero.
Aquí, lo que he hecho es:
$\Rightarrow$: Trivial. Sabemos que $ \nexists\ 0\neq a \in A $ tal que $a^n=0$ para algún $n \in \mathbb{N}$, en especial para n=2.
$\Leftarrow$: $0$ es el único elemento en $A$ cuyo cuadrado es $0$. Entonces $ \exists\ 0\neq a \in A $ tal que $a^n=0$ para algún $n \in \mathbb{N}$ ?
Sabemos que si $a \neq 0$, $a\in A$, entonces $a^2\neq 0$. Supongamos que $a^n=0$ con $a\neq 0$
Observa que $n \in \mathbb{N}$, así que debido a la división del algoritmo podemos escribir $n$ como $n=n_1\cdot 2+r$ donde $r<2$, entonces, $r=1$ o $r=0$. En ambos casos podemos escribir $0= a^n=a^{2n_1+r}=a^{2n_1}a^r=(a^{n_1})^2a^r$
donde $a^r\neq 0$ (porque si $r=1$, entonces $a^r=a$, si $r=0$ entonces $a^0=1_A$ así que $a^{n_1}=0$ y podemos escribir $n_1$ como: $n_1=n_2\cdot2+r_1$ donde $r_1<2$, entonces, $r_1=1$ o $r_1=0$ y continuar como antes. Sabemos que habrá un número finito de pasos porque $n_k
$n_k=2\cdot 1+r_k$ con $r_k<2$
Entonces $0= a^n_k=a^{2\cdot1+r_k}=a^{2}a^{r_k}$ y sabemos que $a^{r_k}\neq 0$ así que $a^2=0$ CONTRADICCIÓN con la hipótesis. Entonces $a=0$ si $a^n=0$, $a\in A$ QED.
¿Está bien probado? No estoy seguro de si hacer el "continuar como antes" está bien con la prueba.
Gracias.
