Tengo un anillo conmutativo unitario A. Y sabemos que un elemento a∈A se dice que es nilpotente si an=0 para algún n∈R. Demuestra las siguientes afirmaciones:
a) A no contiene elementos nilpotentes distintos de cero si y solo si cero es el único elemento en A cuyo cuadrado es cero.
Aquí, lo que he hecho es:
⇒: Trivial. Sabemos que ∄ 0≠a∈A tal que an=0 para algún n∈N, en especial para n=2.
⇐: 0 es el único elemento en A cuyo cuadrado es 0. Entonces ∃ 0≠a∈A tal que an=0 para algún n∈N ?
Sabemos que si a≠0, a∈A, entonces a2≠0. Supongamos que an=0 con a≠0
Observa que n∈N, así que debido a la división del algoritmo podemos escribir n como n=n1⋅2+r donde r<2, entonces, r=1 o r=0. En ambos casos podemos escribir 0=an=a2n1+r=a2n1ar=(an1)2ar
donde ar≠0 (porque si r=1, entonces ar=a, si r=0 entonces a0=1A así que an1=0 y podemos escribir n1 como: n1=n2⋅2+r1 donde r1<2, entonces, r1=1 o r1=0 y continuar como antes. Sabemos que habrá un número finito de pasos porque $n_k
nk=2⋅1+rk con rk<2
Entonces 0=ank=a2⋅1+rk=a2ark y sabemos que ark≠0 así que a2=0 CONTRADICCIÓN con la hipótesis. Entonces a=0 si an=0, a∈A QED.
¿Está bien probado? No estoy seguro de si hacer el "continuar como antes" está bien con la prueba.
Gracias.