Ayúdame, si $x$ e $y$ son números reales tales que $3x-4y = 12$, ¿cuál es el valor mínimo de $z = x ^ 2 + y ^ 2$?$$$$Pensé en $$3x-4y = 12\Longrightarrow x=4\frac{y+3}{3}\\z = x ^ 2 + y ^ 2\Longrightarrow z = \left(4\frac{y+3}{3}\right) ^ 2 + y ^ 2$$ ¿y entonces?
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DiGi
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La cantidad $x^2+y^2$ se minimiza cuando $\sqrt{x^2+y^2}$ se minimiza, y $\sqrt{x^2+y^2}$ es simplemente la distancia desde el punto $\langle x,y\rangle$ hasta el origen. Por lo tanto, estás buscando el punto en la línea $3x-4y=12$ que está más cerca del origen. Llama a esta línea $\ell$; el punto más cercano al origen es el punto de intersección de $\ell$ con una línea que pasa por el origen y es perpendicular a $\ell$. La pendiente de $\ell$ es $\frac34$, por lo que la pendiente de la perpendicular es $-\frac43$: deseas la intersección de $\ell$ y la línea $y=-\frac43x$.
Oli
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Empezamos desde tu expresión para $z$ en términos de $y$. La forma estándar de "cálculo" de manejar el problema es calcular $\frac{dx}{dy}$ y establecerlo igual a $0$ para encontrar los puntos críticos.
Para el cálculo de $\frac{dz}{dy}$, puedes simplificar primero y luego diferenciar, o diferenciar y luego simplificar.
Lo haré de una manera, y tú puedes hacerlo de la otra manera. Tenemos $$z=\frac{16}{9}(y+3)^2+y^2.$$ Diferenciamos. Obtenemos $$\frac{dz}{dy}=\frac{32}{9}(y+3)+2y=\frac{1}{9}(50y+96).$$ Esto se iguala a $0$ y se resuelve para $y$.
No olvides verificar que realmente obtenemos un mínimo.
Gudmundur Orn
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G Tony Jacobs
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Para responder a tu pregunta, "¿y luego?", con detalles, esta es una forma en que el cálculo que comenzaste podría continuar, y esto es sin cálculo:
$z=(4\frac{y+3}{3})^2 + y^2 = 16\frac{(y+3)^2}{9} + \frac{9y^2}{9} = \frac{16(y^2+6y+9)+9y^2}{9} = \frac{25}{9}y^2 + \frac{32}{3}y + 16$.
El centro de una parábola está en $y = \frac{-b}{2a} = \frac{-32/3}{50/9} = -\frac{48}{25}$.
Finalmente, $x=4\frac{y+3}{3} = \frac{4(27/25)}{3} =\frac{36}{25}$.
El método descrito por Brian Scott es un poco más fácil, creo.
Felix Marin
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$$ {\rm F} \equiv x^{2} + y^{2} -\mu\left(3x - 4y - 12\right)\,, \quad \left\vert \begin{array}{rcl} {\partial F \over \partial x} = 0 &\Longrightarrow& 2x - 3\mu = 0\ \Longrightarrow\ x = {3 \over 2}\,\mu \\[1mm] {\partial F \over \partial y} = 0 &\Longrightarrow& 2y + 4\mu = 0\ \Longrightarrow\ y = -2\mu \end{array}\right. $$
$$ 12 = 3x - 4y = {9 \over 2}\,\mu + 8\mu = {25 \over 2}\,\mu\ \Longrightarrow\ \mu = {24 \over 25} \quad\Longrightarrow\quad \left\vert% \begin{array}{rcl} x & = &{3 \over 2}\,{24 \over 25} = {36 \over 25} \\[2mm] y & = & -2\,{24 \over 25} = -\,{48 \over 25} \end{array}\right. $$
$$ \begin{array}{|c|}\hline\\ {\large\quad% z_{\rm min} = \left(36 \over 25\right)^{2} + \left(-\,{48 \over 25}\right)^{2} = \color{#0000ff}{144}\quad} \\ \\ \hline \end{array} $$
