Transformada de Fourier no negativa

Question

Sea $\widehat{f}(\xi)$ la transformada de Fourier de $f$ dada por \begin{align} \widehat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}^n} e^{-ix\cdot\xi}f(x)dx. \end{align} Supongamos que $\widehat{f}(\xi)$ es una función no negativa y localmente integrable, pareciera fácil (por la transformada inversa de Fourier) que \begin{align} \Vert f\Vert_{L^{\infty}} \leq \Vert \widehat{f}\Vert_{L^1}. \end{align} ¿Cómo demostrar que existe una constante positiva $c>0$ tal que \begin{align} \Vert \widehat{f}\Vert_{L^1}\leq c \Vert f\Vert_{L^{\infty}}. \end{align}

Answer 1

Si $\hat f$ es no negativo, entonces (hasta un factor), $$f(0)=\int \hat f=\Vert \hat f \Vert_1 = \Vert f \Vert_\infty.$$