Conjetura de Bunyakovsky para polinomios ciclotómicos

Question

Este artículo en Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Bunyakovsky_conjecture dice:

De hecho, se puede demostrar que si para todo número natural $ n $, existe un número natural $ x > 1 $ tal que $ \Phi_n(x) $ es primo, entonces para todo número natural $ n $, hay infinitos números naturales $ x $ tal que $ \Phi_n(x) $ es primo.

(Donde $ \Phi_n(x) $ es el polinomio ciclotómico $ n $-ésimo)

Sin embargo, no hay referencia a la prueba. ¿Podría publicar la prueba o un enlace a ella, por favor?

Answer 1

No estoy seguro de dónde provino originalmente esta afirmación ni cuál era la prueba prevista para ello, pero se deduce bastante fácilmente de una propiedad de los polinomios ciclotómicos (enlace de Wikipedia): $$\Phi_n(x) = \Phi_q(x^{n/q}),$$ donde $q$ es el mayor factor libre de cuadrados de $n$. A partir de esta propiedad, vemos que si $p$ es un primo que divide a $n$, entonces, como el mayor divisor libre de cuadrados de $p^k n$ también es $q$, $$\Phi_{p^k n}(x) = \Phi_q(x^{p^k n/q}) = \Phi_q((x^{p^k})^{n/q}) = \Phi_n(x^{p^k}).$$ Supongamos que, para todo $n$, podemos encontrar un entero $x>1$ tal que $\Phi_n(x)$ es primo. Entonces, en particular, podemos encontrar enteros $x_1, x_2, \dots$ tales que $\Phi_{p^k n}(x_k)$ es primo, para cada $k$. Pero esto significa que $\Phi_n((x_k)^{p^k})$ es primo, para cada $k$. Así que la secuencia $$(x_1)^p, (x_2)^{p^2}, (x_3)^{p^3}, \dots$$ es una secuencia infinita de valores en los que $\Phi_n$ es primo. (Algunos de estos valores pueden repetirse, pero está bien, ya que cada valor solo puede repetirse finitamente.)