Problema de convergencia de variables aleatorias

Question

Estoy intentando resolver el problema del MIT Open Coursware "Estadística para Aplicaciones" conjunto de problemas. Específicamente el primero:

"Para $n \in N^*$, sea $X_n$ una variable aleatoria tal que $P[X_n = \frac{1}{n}] = 1 - \frac{1}{n^2}$ y $P[X_n = n] = \frac{1}{n^2}$. ¿Converge $X_n$ en probabilidad? ¿En $L^2$?"

Entonces, para la convergencia en probabilidad (según la definición) necesito mostrar que $P[|X_n - X| \geq \varepsilon]$ converge a 0 a medida que $n$ tiende a infinito para cada $\varepsilon \gt 0$.

No estoy seguro si mi enfoque es correcto:

Cada variable aleatoria $X_1, X_2, \ldots$ puede tener dos resultados. Ya sea $\frac{1}{n}$ con probabilidad $1-\frac{1}{n^2}$ o $n$ con probabilidad $\frac{1}{n^2}$.

Así que al calcular esas probabilidades para diferentes valores de $n$, obtengo:

Para $X_1$: $P[X_1 = 1] = 0$ y $P[X_1 = 1] = 1$ (no sé cómo entender eso)

Para $X_2$: $P[X_2 = \frac{1}{2}] = \frac{3}{4}$ y $P[X_2=2] = \frac{1}{4}$

Para $X_3$: $P[X_3 = \frac{1}{3}] = \frac{8}{9}$ y $P[X_3=3] = \frac{1}{9}$

y así sucesivamente...

Ahora noto que a medida que $n$ aumenta, $X_n$ tiende a favorecer cada vez más a $\frac{1}{n}$.

Entonces elijo una variable aleatoria $X$ tal que $P[X=\frac{1}{n}] = 1$ lo cual básicamente significa que $X=\frac{1}{n}$.

Ahora sustituyendo todo en la definición de convergencia de probabilidad:

$$\lim_{n\to\infty} P[|X_n - X| \geq \varepsilon] = \lim_{n\to\infty} P[|X_n - \frac{1}{n}| \geq \varepsilon]$$

Ahora puedo descartar el valor absoluto porque para $n \in N^*$ $X_n$ es o bien $n$ o $\frac{1}{n}$ y en este caso $n-\frac{1}{n}$ y $\frac{1}{n} - \frac{1}{n}$ siempre son mayores o iguales a 0.

Continuando:

$$\lim_{n\to\infty} P[X_n - \frac{1}{n} \geq \varepsilon]$$

Y ahora esta parte es un poco complicada - veo qué sucede en el límite. Así que a medida que $n \to \infty$:

$$P[X_n=\frac{1}{n}] = 1 \;y\; P[X_n=n] = 0$$

Lo cual básicamente significa que $X_n = \frac{1}{n}$ a medida que $n \to \infty$. Ahora: $$\lim_{n\to\infty} P[X_n - \frac{1}{n} \geq \varepsilon] = P[0 \geq \varepsilon]$$

Lo cual es igual a 0 porque $\varepsilon \gt 0$. Por lo tanto, $X_n$ converge en probabilidad.

Entonces, mis preguntas son:

1. ¿Es correcto este enfoque? Siento que el comienzo es razonable pero al final es un poco dudoso, especialmente el cálculo del límite - ¿podría hacerse en más pasos para describir el razonamiento mejor?
2. ¿Cuál sería una manera formalmente correcta de demostrar que $X_n$ converge en probabilidad?
3. ¿Cómo entender que para $X_1$ obtengo $P[X_1 = 1] = 0$ y $P[X_1 = 1] = 1$?
4. Si la variable aleatoria $X$ es tal que $P[X=\frac{1}{n}] = 1$ ¿es correcto escribir $P[X=\frac{1}{n}] = 1 \Leftrightarrow X=\frac{1}{n}$?

EDIT: Gracias por todas las respuestas, realmente aclararon las cosas para mí. Me pregunto acerca de la convergencia en $L^2$ - ahora que hemos establecido que $X_n$ converge en probabilidad a 0, ¿puedo usar ese resultado para demostrar que también converge en $L^2$?

Entonces ahora debo mostrar que $E[X_n^2]$ tiende a 0 a medida que $n$ tiende a infinito. Así que como sé que $X_n$ converge a 0 en probabilidad, ¿podría escribir: $$ \lim_{n\to\infty} E[X_n^2] = E[0] = 0$$ ? ¿O es la convergencia en probabilidad demasiado débil para inferir eso?

La otra solución sería: $$E[X_n^2] = E[(\frac{1}{n}(1-\frac{1}{n^2}) + n \frac{1}{n^2} )^2 ] = E[( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^3} + \frac{1}{n})^2 ] = E[(\frac{2}{n} - \frac{1}{n^3})^2] \xrightarrow[n \to \infty]{} E[0] = 0$$

¿Es correcto?

EDIT2:

Entonces:

$Pr[X_n^2 = (\frac{1}{n})^2] = 1-\frac{1}{n^2}$ y $Pr[X_n^2=n^2]= \frac{1}{n^2}$.

Luego: $E[X_n^2]= (\frac{1}{n})^2 (1-\frac{1}{n^2}) + n^2 \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{n^4} + 1 \xrightarrow[n \to \infty]{} 1$

Entonces esto significa que $X_n$ no converge a 0 en $L^2$. Lo cual también significa que el enfoque anterior fue incorrecto y la convergencia en probabilidad era demasiado débil.

Answer 1

Deberías dejar que la distribución objetivo sea $Pr[X=0]=1$.

Primero trabajaré en la función de distribución acumulada de $X_n$,

$$Pr(X_n \le \epsilon ) = \begin{cases} 0 &, \epsilon < \frac1n \\ 1-\frac1{n^2} & ,\frac1n \le \epsilon < n \\ 1 &, \epsilon \ge n\end{cases} $$

\begin{align}Pr(|X_n-X|> \epsilon)&=Pr(X_n>\epsilon)\\&=1-Pr(X_n \le \epsilon) \\&= \mathbb{1}_{\epsilon < \frac1n} + \frac1{n^2}\cdot \mathbb{1}_{ \frac1n \le \epsilon < n}\end{align}

Dado cualquier $\epsilon>0$, para cualquier $n> \max(\lceil\frac1\epsilon \rceil, \lceil \epsilon\rceil) $ , tenemos $\frac1n \le \epsilon < n$, y $Pr(|X_n-X| > \epsilon ) =\frac1{n^2}.$

Al llevar el límite de $n$ a $\infty$ obtendrás la respuesta sobre si converge en probabilidad.

Tienes razón con respecto a $X_1$, la intención de la pregunta podría ser discutir sobre $X_n$ donde $n > 1$.

Por lo general escribimos $X=\frac1n a.s.$ para denotar $Pr(X=\frac1n)=1$, a.s. significa casi seguramente. Ese conjunto de posibles excepciones puede ser no vacío, pero tiene probabilidad $0$. El concepto es esencialmente análogo al concepto de "casi en todas partes" en teoría de la medida.

Editar:

Intenta evaluar $E[X_n^2]$:

$$E[X_n^2]=\left( \frac1n\right)^2P(X_n=\frac1n)+n^2 P(X_n=n)$$