¿Es esto a lo que se reduce Convergencia/Divergencia?

Question

Al intentar entender por qué $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^k}$ converge pero $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k}$ no, noté que en series infinitas del tipo $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{k^n}$ donde $k > 1$, cualquier término es mayor que la suma de cualquier cantidad de términos subsecuentes.

Mientras que, por ejemplo, en la serie $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k}$, siempre es posible encontrar para cualquier término una cierta cantidad de términos subsecuentes cuya suma es mayor que ese término.

Entonces me pregunto, ¿hay algo en esto? ¿Es este principio la diferencia entre una serie convergente o divergente?

Answer 1

La convergencia de una serie siempre vuelve a la definición con el límite de las sumas parciales. Has mencionado algunas partes que son ciertas. Por ejemplo, dices (parafraseando) que si un término, digamos $a_{1}$, es mayor que la suma de todos los demás (por ejemplo cuando $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}$) entonces la serie converge. (Suponiendo que todos los términos son positivos) Cuando esto es cierto, obtienes convergencia porque la suma está acotada por arriba:

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = a_{1}+\sum_{n=2}^{\infty}a_{n}\leq 2a_{n}<\infty.$$

La razón por la cual esto implica convergencia es que la secuencia de sumas parciales $\sum_{n=1}^{N}a_{n}$ es una secuencia creciente (ya que todos los términos son no negativos) y está acotada por arriba (por $2a_{1}<\infty$), por lo que converge.

Una cosa de la que debes tener cuidado es que esto no es cierto siempre que $a_{n}=\frac{1}{k^{n}}$ para algún $k>1$. La serie convergerá, pero $a_{1}\leq \sum_{n=2}^{\infty}a_{n}$ si $1

Por otro lado, series como $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}$ no convergen porque los términos que se están sumando no van a cero lo suficientemente rápido, es decir, el cambio de $a_{n}$ a $a_{n+1}$ es demasiado pequeño.

Answer 2

"¿Es este principio la diferencia entre una serie convergente o divergente?"

No lo creo. Por ejemplo, solo considera una serie geométrica $$\sum_{k=0}^\infty r^k$$ con $0

• si $r<\frac12$ entonces esto es menor que $r^k$: es decir, cualquier suma de términos posteriores es menor que el término $k$; mientras que por otro lado
• si $r>\frac12$ entonces esto es mayor que $r^k: es decir, existe una suma de (finitos) términos siguientes que es mayor que el término $k$.

Entonces según veo, la observación no tiene, en general, nada que ver con la convergencia.

Answer 3

Razón rápida: Uno es geométrico y el otro es un múltiplo de la serie armónica.

Utilizando la Prueba Integral,

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k} \ \ \textrm{divg/convg} \iff \lim_{k \to \infty} \int_{1}^{k} \frac{1}{2x} \ \textrm{dx}\ \ \textrm{divg/convg}$$