Supongamos que $X$ es una $n$-variedad compacta (suave) y $E \to X$ es un fibrado vectorial suave (complejo) de rango $N$. Elija una cobertura finita $(U_i)_i$ por dominios de las cartas $\varphi:U_i \to V_i \subset \mathbb{R}^n$ y sea $h_i:E|_{U_i} \to V_i \times \mathbb{C}^N$ una colección de trivializaciones (compuesta con $\varphi_i \times id$ para llegar al producto $V_i \times \mathbb{C}^N$). Sea $h_{i*}$ el mapa inducido $h_{i*}\xi=h_i \circ \xi \circ \varphi_i^{-1}$ actuando desde $\Gamma^{\infty}(U_i,E|{U_i})$ hasta $\Gamma^{\infty}(V_i,\mathbb{C}^N)$ que se identifica con $[C^{\infty}(V_i)]^N$. Sea $(f_i)_i$ una partición suave de la unidad subordinada a $(U_i)_i$ y defina $$||\xi||_{s,E}:=\Sigma_i||h_{i*}(f_i\xi)||_{s,\mathbb{R}^n}$$ donde en el lado derecho tenemos la norma Sobolev usual dada por $\Big(\int_{\mathbb{R}^n}|\hat{f}(y)|^2(1+|y|^2)^sdy\Big)^{\frac{1}{2}}$. En esta definición hemos hecho tres elecciones no canónicas: de coordenadas, de trivializaciones y de partición de la unidad. Por lo tanto, me gustaría preguntarle
¿Por qué estas normas son equivalentes para diferentes elecciones de coordenadas/trivializaciones/partición de la unidad?
Además, para $s=0$ podemos considerar el producto escalar $$(\xi,\eta):=\int_X\langle\xi(x),\eta(x) \rangle d\mu(x)$$ como una integral con respecto a la densidad Riemanniana $d\mu$ donde $\langle \cdot,- \rangle$ es una métrica hermítica en $E$.
¿Por qué la norma proveniente de este producto escalar es equivalente a la norma introducida anteriormente con $s=0$?
Esta pregunta está motivada por las consideraciones en el Capítulo IV del libro de Wells "Differential Analysis on Complex Manifolds" donde los detalles se dejan al lector. Sin embargo, no veo por qué estas preguntas tienen que ser fáciles.
