Construyendo los números reales a partir de los enteros

Question

Un mapa $f\colon\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb Z$ se llama cuasihomomorfismo si el conjunto $$\{f(m+n)-f(m)-f(n)\,|\,m,n\in\mathbb{Z}\}$$ está acotado. Sea $R$ el conjunto de estas funciones. Consideremos la relación binaria $\sim$ en $R$ definida por $$f_1\sim f_2\iff\{f_1(n)-f_2(n)\,|\,n\in\mathbb{Z}\}\text{ está acotado.}$$ Entonces $\sim$ es una relación de equivalencia y $R/\sim$ es simplemente el conjunto de todos los números reales. Para ser más precisos, si $0$ es la clase de equivalencia de la función nula, si $1$ es la clase de equivalencia de la identidad, si $+$ es la operación inducida por la suma y si $\times$ es la operación inducida por la composición, entonces $R/\sim$ es un campo que es isomorfo a $\mathbb{R}$.

Leí esto hace años y me gustaría tener una referencia, en la cual se proporcionen los detalles.

Nota: Si no ves ninguna conexión entre $\mathbb R$ y $R$, considera el mapa $$\begin{array}{ccc}\mathbb R&\longrightarrow&R\\x&\mapsto&\left[\begin{array}{ccc}\mathbb{Z}&\longrightarrow&\mathbb Z\\n&\mapsto&\lfloor nx\rfloor\end{array}\right].\end{array}$$

Answer 1

Esta construcción de los números reales se atribuye a Acampo, pero existen predecesores con ideas similares, por ejemplo Schönhage. Aquí tienes un pdf del artículo de Acampo:

https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/acampo-real.pdf