Deje $x=x(T)$ y $y=y(T)$ sean funciones racionales. ¿Mostrar que hay un polinomio no constante $f(X,Y)$ tal que $f(x,y)=0$?

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema:

• Sea $x=x(T)$ y $y=y(T)$ funciones racionales. Muestra que existe un polinomio no constante $f(X,Y)$ tal que $f(x,y)=0$.

Y luego, hay una "pista" (que sospecho que en realidad es toda la respuesta debido a su longitud):

• Sea $K(T)$ el campo de funciones racionales con coeficientes en el campo $K$. Si $x \in K(T)$ no es constante, entonces $K(T)$ es una extensión algebraica del subcampo $K(x)$ generado por $x$. De hecho, tenemos $x=\frac{p(T)}{q(T)}$ con $p,q$ polinomios, y luego $T$ satisface la ecuación polinómica $p(X)-x Q(x)=0$ y por lo tanto, cada $y\in K(T)$ es algebraico sobre $K(x)$.

Estoy un poco confundido:

• ¿Qué está pasando en esta prueba? Tomé un curso de álgebra con extensiones de campos y cosas así, pero debido a la pandemia, la calidad no fue muy buena y no lo aprendí muy bien.
• ¿Esta prueba realmente nos da métodos para encontrar un polinomio $f$ tal que $f(x,y)=0$ o simplemente afirma que dicho polinomio debe existir? Hubo un ejercicio anterior para encontrar un polinomio para algunas funciones racionales y logré responderlo por ensayo y error, pero no pude usar el contenido de esta prueba para obtener el polinomio deseado.

Answer 1

¿Qué está sucediendo en esta demostración?

Las extensiones de campos pueden ser confusas. Dicho esto, esta es una pregunta bastante vaga. Intentaré explicar el argumento detalladamente. Si nada más, esto podría ayudarte a identificar en qué punto tienes confusión.

Dado que $x \in K(T)$, podemos encontrar polinomios $f,g \in K[X]$ tales que $x = \frac{f(T)}{g(T)}$. Rearreglando esto, obtenemos la ecuación $f(T) - x \cdot g(T) = 0$. El lado izquierdo de esta ecuación es el polinomio $f(X) - x \cdot g(X)$ evaluado en $T$. Este es un polinomio (en la indeterminada $X$) con coeficientes en el subcampo $K(x)$ de $K(T)$. El hecho de que $T$ sea raíz de este polinomio significa precisamente que $T$ es algebraico sobre $K(x)$. Usando resultados básicos sobre extensiones de campos*, se sigue que cada elemento de $K(T)$ es algebraico sobre $K(x)$. En particular, hay un polinomio no nulo $F(X) \in K(x)[X]$ tal que $F(y) = 0$.

Ahora $F(X)$ es un polinomio con coeficientes en $K(x)$, por lo que tiene la forma $\frac{f_n(x)}{g_n(x)}X^n + \ldots + \frac{f_1(x)}{g_1(x)}X + \frac{f_0(x)}{g_0(x)}$ para algunos polinomios $f_0,\ldots,f_n,g_0,\ldots,g_n \in K[Y]$, donde $Y$ es una nueva indeterminada. Esto significa que tenemos $G(x,y) = 0$ donde $G(X,Y) = \frac{f_n(Y)}{g_n(Y)}X^n + \ldots + \frac{f_1(Y)}{g_1(Y)}X + \frac{f_0(Y)}{g_0(Y)}$. Esto es casi lo que queríamos demostrar - el único problema es que $G(X,Y)$ no está en $K[X,Y]$, sino en $K(Y)[X]$. Pero eso es fácil de arreglar: simplemente eliminamos los denominadores multiplicando $G(X,Y)$ por $g_n(Y)\cdot g_{n-1}(Y) \cdot \ldots \cdot g_0(Y)$. El resultado finalmente será un polinomio en las indeterminadas $X$ y $Y$ que es satisfecho por $x,y$.

Usando un lenguaje un poco más avanzado, lo que hemos demostrado aquí es el resultado no demasiado sorprendente de que el grado de trascendencia de $K(T)$ sobre $K$ es $1$.

¿Esta demostración en realidad nos da métodos para encontrar un polinomio $f$ tal que $f(x,y)=0$ o simplemente afirma que dicho polinomio debe existir?

Solo da la existencia. El problema está en la parte "usando resultados básicos sobre extensiones de campos". Esto muestra que $y$ es algebraico sobre $K(x)$ sin proporcionarnos explícitamente el polinomio $F(X)$ que es satisfecho por $y$.

*Es decir, el resultado de que si $F \subseteq E$ son campos y $y \in E$, entonces $y$ es algebraico sobre $F$ si y solo si $F(y)$ tiene dimensión finita como espacio vectorial sobre $F$.