Mostrar que una distribución Weibull pertenece a una familia exponencial.

Question

Estoy estudiando estadísticas y me encontré con un problema que me está costando entender.

Me dieron la función de densidad de una distribución Weibull $$ f(y;\lambda,k) = \begin{cases} \frac k \lambda \left(\frac y \lambda\right)^{k-1}e^{-(y/\lambda)^k},& y\geq 0\\ 0, & y<0 \end{cases} $$

Se supone que debo demostrar que las distribuciones Weibull con $k$ fijo pertenecen a la familia exponencial con la forma:

$$f_(y) = \exp(a(y)b() + c() + d(y))$$

Tomé el logaritmo de la función y obtuve:

$$\log f(y;,k) = \log (k/) + (k-1)\log(y/) - k(y/)$$

No estoy seguro de cómo derivar el parámetro canónico y determinar dónde pertenecen los términos. Cualquier consejo sobre cómo organizar los logaritmos es bienvenido.

EDITAR:

Intenté reorganizar un poco y terminé con $$\log f(y;,k) = -y(k/) + log(k/)-(k-1)*log(y/)$$

Con a(y) = -y, b()\= k/, c() = log(k/), d(y) = (k-1)*log(y/)

Con el parámetro canónico () = k/. Aunque estoy bastante seguro de que esto está incorrecto.

Answer 1

En primer lugar, hay un pequeño error en tu fórmula de $\log(f)$

$$\log f(y;λ,k) = \log (k/\color{red}{\lambda}) + (k-1)\log(y/λ) - (y/λ)^{\color{red}k}.$$

En segundo lugar, investigué un poco y parece que el parámetro natural para la distribución Weibull es $\lambda$ y no $k$, lo que significa que (para escribirlo de manera análoga a tu $f_\theta(y)$ en tu familia exponencial) necesitamos escribirlo como

$$f_\lambda(y;k) = \exp\left(a(y;k)b(\lambda;k) + c(\lambda;k) + d(y;k) \right).$$

Entonces, revisemos $\log(f)$

$$ \begin{align} \log f(y;λ,k) &= \log (k/\lambda) + (k-1)\log(y/λ) - (y/λ)^{k}\\ &= \log(k) - \log(\lambda) + (k-1)(\log(y)-\log(λ)) - (y/λ)^{k}\\ &= \underbrace{\log(k) - k \log(\lambda)}_{c(\lambda;k)} + \underbrace{(k-1)\log(y)}_{d(y;k)}+\underbrace{\left(-λ^{-k}\right)}_{b(\lambda;k)}\underbrace{y^k}_{a(y;k)} \end{align} $$

También, consulta el artículo de Wikipedia sobre familia exponencial que dice explícitamente que

La distribución Weibull con parámetro de forma fijo $k$ es una familia exponencial.