¿Existe una $1$-forma $\lambda$ en $\mathbb R^5$ tal que $(\lambda\wedge d\lambda\wedge d\lambda)_p\neq 0$ en todas partes?

Question

Pregunta:

¿Existe una $1$-forma $\lambda$ en $\mathbb R^5$ tal que $(\lambda\wedge d\lambda\wedge d\lambda)_p\neq 0$ para todo $p\in \mathbb R^5$?

Intenté tomar $\lambda=\sum_{i=1}^5 \lambda_idx_i$, $d\lambda=\sum_{i=1}^5 (d\lambda_i\wedge dx_i)$, pero después de escribir la expresión para $\lambda\wedge d\lambda\wedge d\lambda$, no tengo ni idea de cómo resolver $\lambda_1,\cdots,\lambda_5$. Entonces me pregunto si hay algún ejemplo intuitivo para responder la pregunta o alguna otra manera de abordar el problema. ¡Cualquier ayuda es apreciada!

¡Muchas gracias!

Answer 1

Intenta $\lambda = dx_5+x_1\,dx_2+x_3\,dx_4$.

El ejemplo principal a tener en cuenta de una $2$-forma $\omega$ en $\Bbb R^{2n}$ con $\underbrace{\omega\wedge\dots\wedge\omega}_{n\text{ veces}}\ne 0$ es $\omega = dx_1\wedge dx_2+\dots+dx_{2n-1}\wedge dx_{2n}$. Esto debería llevarte a una $\lambda$ obvia en $\Bbb R^{2n-1}$.