¿Es la envolvente convexa de un conjunto compacto compacta?

Question

Sea $V$ un espacio vectorial normado y $K$ un subconjunto compacto de $V$. ¿Es el envoltorio convexo de $K$ dado por $$\langle K \rangle = \left\{\sum_{i=1}^n t_i x_i\mid x_i\in K, t_i0\text{ s.t. }\sum_i t_i=1\right\}$$ nuevamente compacto?

Answer 1

Respondiendo la pregunta con el contraejemplo del enlace en la pregunta de desbordamiento matemático vinculada por Martin R:

Considera $$u_n=(\underbrace{0,...,0}_{n-1},1/n,0,...)$$ y $K=\bigcup_n \{u_n\} \cup \{0\}$ un subconjunto compacto de $\mathscr l^p(\mathbb N)$. La envoltura convexa de $K$ está dada por elementos de la forma: $$\sum_{n=1}^k a_n u_{n}\qquad\text{s.t.:}\quad \sum_{n=1}^k a_n≤1\qquad a_n≥0$$ Por lo tanto, también $\sum_{n=1}^k 2^{-n}u_n$ está en ella. Pero esta secuencia converge a $\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}u_n$ que no está en ella.

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Sin embargo: Desde Teorema 5.35: La envoltura convexa cerrada es compacta en un espacio vectorial normado completo. Por lo tanto, la envoltura convexa de un conjunto compacto es precompacta (o totalmente acotada si el espacio original no es completo).

Para mayor comodidad, incluimos la prueba del libro, que muestra la afirmación en el contexto de espacios vectoriales localmente convexos completamente metrizables. Más específicamente, se muestra que para $K$ compacto, la envoltura convexa $\langle K\rangle$ es completamente acotada.

Sea $\epsilon>0$, como $K$ es compacto hay una cobertura finita de $K$ por bolas de radio $\frac\epsilon2$, es conveniente escribir esto como: $$K\subseteq F+B_{\epsilon/2}(0)$$ para un conjunto finito $F$. Entonces se sigue que: $$\langle K\rangle \subseteq \langle F\rangle +B_{\epsilon/2}(0)$$ porque $B_{\epsilon/2}(0)$ ya es convexo. Ahora, como $F$ es finito, se tiene que $\langle F\rangle$ es compacto y por lo tanto admite una cobertura por un número finito de bolas de radio $\frac\epsilon2$, escribe $\langle F\rangle = \widetilde F + B_{\epsilon/2}(0)$ para algún conjunto finito $\widetilde F$, entonces: $$\langle K \rangle \subseteq \langle F\rangle + B_{\epsilon/2}(0)\subseteq \widetilde F + B_{\epsilon/2}(0)+B_{\epsilon/2}(0)\subseteq \widetilde F + B_{\epsilon}(0)$$ Dando la conclusión de que para cualquier $\epsilon>0$ puedes cubrir $\langle K\rangle$ por un número finito de bolas de radio $\epsilon$, por lo tanto, $\langle K \rangle$ es totalmente acotada.