Valor medio/máximo máximo del elemento/diagonal de una matriz

Question

Mi pregunta surge de la física cuántica pero es esencialmente un problema de álgebra lineal, así que espero que este sea el lugar correcto para preguntar.

Tengo una matriz $A$ y quiero maximizar la traza del producto de dos matrices (asumiendo que el máximo existe, por lo que no hay infinitos...), Tr $A B$ variando $B$. Sin embargo, solo quiero considerar matrices $B$ con Tr$B = 1$ y autovalores no negativos ($B$ es básicamente una matriz de densidad).

Desafortunadamente no soy tan versátil cuando se trata de pruebas matemáticamente rigurosas, pero aquí están mis pensamientos: La traza debería ser independiente de la base utilizada, así que elijo aquella en la que $A$ sea diagonal (por lo tanto, la base de autovalores con autovectores $v_n$). En esta base, la diagonal de $A$ consta de todos los autovalores $a_n$. Entonces la traza es Tr $AB = \sum_n a_n p_n$, donde $p_n = v_n^T B v_n$. Con las propiedades de $B$, el máximo de esta expresión es (**) simplemente $a_{n_0} \cdot 1$, donde $a_{n_0}$ denota el autovalor más grande de $A$. Por lo tanto, la matriz B tiene un "$1" en la diagonal en la fila/columna $n_0$, y el resto son ceros, las entradas no diagonales de $B$ no importan y llevan al mismo valor máximo para la traza.

Para mí, el paso (**) parece de alguna manera "claro" pero fallé en probarlo, lo que generalmente significa que es trivial o incorrecto.

Una pregunta adicional que está relacionada con esto: Sé que la traza de una matriz (suma de términos diagonales) es igual a la suma de los autovalores. ¿Es también posible decir que el término diagonal máximo (bajo cambio dentro de una base normalizada) es el autovalor máximo? Tengo la impresión de que si el autovalor máximo puede ser superado, mi argumentación anterior falla. (o al menos se vuelve más difícil)

¡Desde ya muchas gracias! :)

Editar: Tal vez haya más comentarios si intento reducir mis pensamientos a lo esencial: Supongo que todos están de acuerdo en que la traza se puede escribir como

$Tr (AB) = \sum_n a_n p_n$

con $a_n$ siendo los autovalores de $A$ y

$1 \geq p_n = v_n^T B v_n \geq 0$

así como

$ \sum_n p_n =1$.

Ahora hay dos puntos "poco claros" para mí:

(i) Dadas las propiedades mencionadas, ¿es correcta la siguiente afirmación? $\max_{p_n} \sum_n a_n p_n = a_{n_0} \cdot 1$, donde $a_{n_0} = \max_n a_n$ es el autovalor más grande de $A$

(ii) Escribo que la traza es independiente de la base utilizada, pero ¿esto es cierto al calcular el máximo de la traza?

Answer 1

La multiplicación de matrices es lineal en un espacio más grande en el sentido de que podemos expresar "multiplicación por A desde la izquierda" con una matriz usando productos de Kronecker.

En este espacio, el operador de traza será el producto escalar con un vector de fila que consiste en unos en las posiciones de la diagonal y 0 en todas las demás posiciones.

Una aproximación podría ser intentar resolver:

$$\min_{B}\{\|Tr(B) - 1\|_2^2 + \epsilon\|Tr(AB) - b\|_2^2\}$$ donde b es un número escalar grande.

Answer 2

Supongo que estabas leyendo 'PhysRevLett.116.240404' y te confundiste por la ecuación de abajo (5) jaja. ¡Creo que tengo la respuesta!

Vamos a considerarlo pensando en su significado físico, así que para una matriz de densidad dada $\rho$, y supongamos que A es hermítico, entonces A es en realidad un observable.

¡Entonces, Tr$(\rho A)=\langle A\rangle$! Eso significa que la respuesta es el promedio de un observable.

En primer lugar, consideremos un estado puro, es decir, $\rho=|{\psi}\rangle\langle \psi|$, y Tr$(\rho A)=\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle$, para la descomposición espectral de A, tenemos $A=\sum_n a_n|n\rangle \langle n|$, entonces $\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle=\sum_n a_n|c_n|^2\leq \{a_n\}_\rm{max}$.

El estado mixto es similar a la demostración anterior.