¿Es $ p \lor (q \land r) \equiv p \land (q \lor r)$?

Question

Antes de escribir, no soy bueno en inglés. A medida que desarrollé la ley de distribución, me sentí extraño.

$$\begin{align} p \land (q \lor r)& \equiv (p \land q) \lor (p \land r)\\ &\equiv X \lor (p\land r)\tag{$X=p \land q$}\\ &\equiv (X \lor p) \land (X \lor r)\\ &\equiv [(p \land q) \lor p] \land [(p \land q) \lor r]\\ &\equiv (p \lor p) \land (p \lor q) \land (p \lor r) \land (q \lor r)\\ &\equiv p \land (q \lor r) \land (p \lor q) \land (p \lor r)\\ &\equiv [p \land (q \lor r)] \land p \lor (q \land r)\end{align} $$

Cuando se llama $p \land (q \lor r)=A,\ p \lor (q \land r)=B.$ Nunca he oído hablar de $AA \land B$. (Cuando no son iguales) Así que desarrollé $p \lor (q \land r)$

$$\begin{align} p \lor (q \land r) &\equiv (p \lor q) \land (p \lor r)\\ &\equiv Y \land (p \lor r)\ \ \ \ (let\ Y=p \lor q)\\ &\equiv (Y \land p) \lor (Y \land r)\\ &\equiv [(p \lor q) \land p] \lor [(p \lor q) \land r]\\ &\equiv (p \land p) \lor (p \land q) \lor (p \land r) \lor (q \land r)\\ &\equiv [p \lor (q \land r)] \lor [p \land (q \lor r)]\end{align} $$

$A\equiv A \land B,\ B\equiv A \lor B$

No sé si son iguales o si cometí un error.

Answer 1

Este tipo de cosa puede ser más fácil de entender si produces un ejemplo del mundo real. En papel, $p\lor(q\land r)$ son solo símbolos abstractos. Pero cuando lo traduces en algo práctico, una parte diferente de tu cerebro puede trabajar en ello de manera diferente.

Nuestros cerebros son buenos pensando en reglas sociales. Así que imaginemos que vives en un lugar donde se permite a una persona beber alcohol en un restaurante si:

• tiene más de 18 años ($p$), O
• su padre está presente ($q$) Y su padre le da permiso ($r$).

Esta regla es $p\lor(q\land r)$ y parece plausible.

Ahora veamos si $p\land(q\lor r)$ es lo mismo. Esta nueva regla dice que una persona puede beber alcohol en un restaurante si

1. tiene más de 18 años ($p$) Y
2. su padre está presente ($q$) O ha dado permiso ($r$)

Esto significa que incluso un cliente de 60 años debe obtener permiso de su padre de 80 años. O, si no pueden obtener permiso, tienen que traer a su padre al restaurante.

Tal vez es claro que, mientras la regla original era razonable, esta segunda regla es absurda. Si es así, debería quedar claro que las dos reglas no pueden significar lo mismo.

Answer 2

$p \vee (q \wedge r)$ y $p \wedge (q \vee r)$ no son equivalentes. Por ejemplo, sean $p$, $q$, $r$ las declaraciones $$ \begin{aligned} p\colon \quad \text{$0 < 1\phantom{.}$}\\ q\colon \quad \text{$1 < 0\phantom{.}$}\\ r\colon \quad \text{$2 < 0.$}\\ \end{aligned} $$ Dado que $q$ y $r$ son falsas, tanto $q \wedge r$ como $q \vee r$ son falsas.

Pero entonces dado que $p$ es verdadera, $p \vee (q \wedge r)$ es verdadero mientras que $p \wedge (q \vee r)$ es falso.

Answer 3

Al principio cometes un error en la tercera fila de abajo hacia arriba.

Luego es cierto que en general $A \equiv A \land B$ no es cierto para $A,B$ independientes.

¡Pero en tu caso son dependientes en valor!

Answer 4

Considera cuando $p$ es verdadero pero tanto $q$ como $r$ son falsos. Aquí%E2%86%94(p%E2%88%A7(q%E2%88%A8r))) hay un enlace a una útil herramienta en línea.

Answer 5

$p$ o ($q$ y $r$) obviamente no es equivalente a $p$ y ($q$ o $r$).

$p = FALSE; q=TRUE;r=TRUE$ hará que $p$ o ($q$ y $r$)= TRUE pero $p$ y ($q$ o $r$)=FALSE. (Esto está claro ya que [$p$ Y M] requiere que $p$ sea verdadero pero [$p$ O K] no.

Cuando dijiste $A = p$ o ($q$ y $r$)$ y $B = p$ y ($q$ o $r$). Los $A$ y $B$ no son independientes.

Nota que $B\implies A$. No es posible que $B$ sea verdadero y $A$ sea falso. Pero para todos los demás casos $A$ y ($A$ y $B$) tienen los mismos valores de verdad.

Si tienes $B\implies A$ entonces, sí, $A$ y ($A$ y $B$) tienen los mismos valores de verdad.

Si descubres que $[A] \equiv [A] \land [B]$, no puedes concluir $[A] \equiv [B]$. Lo que puedes concluir es que $[B] \implies [A]$

Entonces, no, $p\lor (q \land r) \not \equiv p\land(q\lor r)$

Pero $p\land(q\lor r) \implies p\lor (q \land r)$