¿Alguien sabe cómo obtener la matriz de covarianza del modelo autorregresivo condicional (CAR)?
La idea general es que una variable aleatoria $Y_{i}$ puede depender de otros valores $Y_{j}$ donde $j \neq i$. $Y_{i}$ puede ser una medición en la ubicación $i$ que está correlacionada con la medición $Y_{j}$ en la ubicación $j$. En un modelo CAR, estas variables siguen la media condicional:
$$E(Y_{i}|\text{todos }Y_{j\neq i}) = \mu_{i} + \rho\Sigma_{j\neq i}w_{ij}(Y_{j}-\mu_{j})$$
donde $\mu_{i}$ es la media de $Y_{i}$, $w_{ij}$ son pesos que determinan la influencia de la ubicación $j$ en $i$ y $\rho$ describe una dirección positiva o negativa. También sabemos que la varianza condicional es:
$$Var(Y_{i}|\text{todos }Y_{j\neq i})=\sigma^{2}$$
Quiero saber cómo derivar la matriz de covarianza:
$$V = (I - \rho W)^{-1}M$$
en la que $M$ es una matriz $n\times n$ de varianzas condicionales $(\sigma_{1}^{2},\dots, \sigma_{n}^{2})$ y $W$ es una matriz $n\times n$ de pesos $w_{ij}$ con ceros en la diagonal.
Supongo que debería ser un cálculo bastante directo. Principalmente, $$\Sigma_{ij} = cov(Y_{i},Y_{j}) = E[(Y_{i}-E[Y_{i}])(Y_{j}-E[Y_{j}])]$$
Sin embargo, no puedo ver cómo obtener el primer término de esta operación. Creo y corríjanme si me equivoco, que $E(Y_{i},Y_{j})$ bajo este modelo debería ser cero. Eso debería simplificar la derivación.
Este es la descripción que he estado leyendo, por si puede ser útil. El artículo original de Besag asume la existencia de dicha matriz de covarianza, pero hasta donde entiendo, él no la deriva.
Cualquier ayuda sería apreciada.
ACTUALIZACIÓN:
Hay una forma muy sencilla de demostrar la matriz de covarianza.
Si usamos el vector de todos los $Y_{i}$ como $Y$ y definimos el modelo CAR en términos de $Y$:
$$Y = \rho W Y + M$$
(asumiendo que $\mu_{i}=0$ y con una matriz diagonal $n\times n$ compartiendo el mismo $\sigma^{2}$)
Entonces, $$Y = (I - \rho W)^{-1}M$$ y es bastante obvio que una distribución $Y = N(0, (I - \rho W)^{-1}M)$ da el resultado deseado. Sin embargo, no estoy muy satisfecho con este resultado ya que tuve que redefinir el modelo CAR, que ya no tiene el valor esperado como arriba.
