Medida absolutamente continua - pregunta

Question

$\nu\ll\mu$ si y solo si $|\nu|\ll\mu$ si y solo si $\nu^{+}\ll\mu$ y $\nu^{-}\ll\mu$

Supongamos que $\nu\ll\mu$ y $\mu(E)=0$ (¿esto, si entiendo, se sigue de la hipótesis?) .

Sea $X=P\cup N$ la descomposición de Hahn con respecto a $\nu$. Sea $\nu^{+}(E)=\nu(E\cap P)$ y $\nu^{-}(E)=-\nu(E\cap N)$

$\mu(E)=0\Rightarrow \mu(E\cap P)=0\Rightarrow \nu(E\cap P)=0$ de manera similar

$\mu(E)=0\Rightarrow \mu(E\cap N)=0\Rightarrow \nu(E\cap N)=0

¿cómo lo sabemos?

No podemos usar que $E\cap P\subseteq E$ y dado que $\mu(E)=0$ entonces $\mu(E\cap P)=0$ ya que no sabemos si la medida es completa. ¿Qué argumento se ha utilizado en las implicaciones anteriores?

Answer 1

Dado que $\mu \geqslant 0$, cada subconjunto medible $A$ de un conjunto $\mu$-nulo $B$ es un conjunto $\mu$-nulo, ya que

$$0 =\mu(B) = \mu(A) + \mu(B\setminus A) \geqslant \mu(A) \geqslant 0.$$

Por lo tanto, dado que $P$ y $N$ pertenecen a la $\sigma$-álgebra $\mathcal{M}$, los dos conjuntos $E\cap P$ y $E\cap N$ son conjuntos $\mu$-nulos cuando $E$ lo es.