Resolviendo $\sinh z = 2i$

Question

Este es mi intento de la pregunta (me detuve temprano porque no funcionó...)
$$\sinh z = 2i \\ e^{iz} - e^{-iz} = 4i \\ e^{2iz} - 4ie^{iz} - 1 = 0 $$ resolviendo la cuadrática se obtiene
$$e^{iz} = i(2\pm \sqrt{3})$$
Me detengo aquí para verificar:
$$\sinh z = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2}= \frac{i(2\pm\sqrt{3}) + i(2\pm \sqrt{3})}{2}= i(2\pm \sqrt{3}) \neq 2i...$$

No estoy seguro si estoy haciendo algo realmente mal... He vuelto a hacer esto varias veces y no lo veo.

Answer 1

Utilice $\sinh^{-1} w = \ln(w+\sqrt{1+w^2})$ para evaluar

$$z = \sinh^{-1} 2i=\ln(2i+\sqrt{1-4})=\ln(2i\pm i\sqrt3)=\ln i + \ln(2\pm\sqrt3)$$

Dado que $\ln i = \ln e^{i\frac\pi2 + i2n\pi} = i\frac\pi2 + i2n\pi$, el conjunto completo de soluciones son

$$z = i\frac\pi2 + i2n\pi + \ln(2\pm\sqrt3)$$

Answer 2

$$\sinh z=2i$$ $$e^z-e^{-z}=4i$$ $$(e^z+2i-i\sqrt{3})(e^z+2i+i\sqrt{3})=0$$ $$z=(2n\pi+\arg i(-2\pm\sqrt3))i+log|i(-2\pm\sqrt3)|$$ $$z=(2n\pi+\pi/2+0)i+log|i|+log|(-2\pm\sqrt3)|$$ $$z=(2n+1/2)i\pi+log|-2\pm\sqrt3|$$

Answer 3

De hecho, la versión correcta de la última expresión es

$$ \sinh(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2}=\frac{i(2\pm\sqrt{3})+i(2\mp\sqrt{3})}{2}=2i $$

Utilice $z=(2+\sqrt{3})i$ o $z=(2-\sqrt{3})i$ uniformemente en toda la expresión