Entonces, para un problema, estoy tratando de simplificar las funciones de piso para hacerlas más fáciles de manejar. En él, surgieron cuatro expresiones:
$$ \frac nm\left\lfloor\frac nm \right\rfloor$$ $$ \frac nm\left\lceil\frac nm \right\rceil$$ $$ m\left\lfloor\frac nm \right\rfloor$$ $$ m\left\lceil\frac nm \right\rceil$$ ¿Hay alguna forma de simplificar alguna de ellas? $n$ y $m$ son ambos enteros positivos (por ejemplo $n,m>0$).
Es cuestionable si esto cuenta como una "simplificación": en cualquier caso, la forma más simple dependerá del contexto supongo:
$$ \frac nm\left\lfloor\frac nm \right\rfloor = \frac{n^2 - n(n\mod m)}{m^2}$$ $$ \frac nm\left\lceil\frac nm \right\rceil = \frac{n^2 + n[m-(n\mod m)]}{m^2}$$ $$ m\left\lfloor\frac nm \right\rfloor = n - (n\mod m) $$ $$ m\left\lceil\frac nm \right\rceil = n + (n \mod m)$$
Se ve menos feo si defines algo como $p := n \mod m$:
$$ \frac nm\left\lfloor\frac nm \right\rfloor = \frac{n^2 - np}{m^2}$$ $$ \frac nm\left\lceil\frac nm \right\rceil = \frac{n^2 + n(m-p)}{m^2}$$ $$ m\left\lfloor\frac nm \right\rfloor = n - p $$ $$ m\left\lceil\frac nm \right\rceil = n + m - p$$
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