Cálculo de Residuos

Question

Estoy teniendo dificultades calculando : $res(f,0)$.

con $f(z)=\frac{1}{z^2sinz}$

Pensé en el método : definiendo $g(z)=z^3f(z)$, ya que $0$ es un polo de orden $3$.

entonces : $res(f,0)=\frac{1}{2!}g^{(2)}(0).$

pero calcular la 2da derivada es más difícil; intenté encontrar la serie de Laurent pero no pude :

$$f(z)=\frac{1}{z^2(z-z^3/3!+O(z^5))}$$

Answer 1

Continuando con tu argumento:

$$ g(z)=z^3 f(z)=f(z)=\frac{z^3}{z^2 \sin(z)}=\frac{z}{\sin(z)}=\frac{1}{h(z)} $$

$$ h(z)=\frac{\sin(z)}{z}=1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} + \cdots $$ Escribimos $$ g(z) = g_0 + g_1 z + g_2 z^2 + g_3 z^3 + \cdots $$ Entonces $$ 1 = g(z)h(z) = g_0 + g_1 z + (g_2 - \frac{g_0}{6}) z^2 + \cdots $$ y por lo tanto $$ g_2=\frac{g_0}{6}= \frac{1}{6} $$

Answer 2

De cualquier manera, es un poco de trabajo. Los primeros términos de la serie de Laurent se pueden encontrar mediante la división larga (como has descrito):

$$f(z) = \frac{1}{z^3} + \frac{1}{6z} + \frac{7z}{360} + \textrm{Términos de orden superior}$$

El residuo es el coeficiente delante de $\displaystyle\frac{1}{z}$:

$$\textrm{Res}_{z=0} f(z)=\frac{1}{6}$$