O un título alternativo: usando el mal para un bien mayor.
En teoría de categorías, el principio de equivalencia dice que las afirmaciones sobre las cosas deberían ser invariantes bajo la noción apropiada de equivalencia de cosa. Por ejemplo, si tenemos un grupo $G$, no deberíamos hacer una pregunta como "¿el conjunto subyacente de $G$ contiene $x$?" porque es posible tener $x \in G$ y $x \notin H$ mientras que $G \cong H$. Una formalización de este principio es el axioma de univalencia.
Creo que el principio de equivalencia es un principio rector razonable, pero se debe tener cuidado al determinar "la noción apropiada de equivalencia de cosa". El ejemplo clásico es que las categorías mismas naturalmente se ensamblan en una $2$-categoría, no solo una $1$-categoría ordinaria, por lo que la noción adecuada de equivalencia (equivalencia de categorías) es más débil que la versión ingenua (isomorfismo de categorías). Como consecuencia, la definición "Un grupo es un grupoide con un solo objeto" (Broma 1.1 en Algebra: Capítulo 0 de Paolo Aluffi) viola el principio de equivalencia, porque la propiedad de "tener un solo objeto" no es invariante bajo la equivalencia. Podemos remediar esto con la definición "Un grupo es un grupoide puntualmente conectado" (aunque tal vez incluso la noción de grupoide puntual viola el principio de equivalencia, así que realmente queremos decir que es un objeto de la $2$-categoría subyacente $T/\mathsf{Grpd}$ cuyo grupoide subyacente está conectado, donde $T$ es "el" grupoide terminal $2$). Reflexionar sobre esto lleva a algunas ideas interesantes, por ejemplo, si vemos los grupos como groupoides de forma ingenua, son más como torsores.
¡Pero me gustan los grupos! Y me gusta hacer álgebra. Trabajar con groupoides como objetos algebraicos estrictos no es inherentemente "malo". El libro de Ronald Brown Topología y Groupoides discute cofibraciones de groupoides, pushouts estrictos de groupoides, y groupoides definidos por generadores y relaciones, y creo que es genuinamente interesante. Ciertamente hay que tener cuidado al trabajar con categorías como objetos estrictos, pero me resulta más fácil pensar en cosas estrictas que en cosas débiles. Me gusta que el marco de las categorías modelo me permita presentar cosas débiles mediante cosas estrictas, y me gusta trabajar con $2$-categorías estrictas sobre las débiles. Seguramente cualquier teórico de categorías estaría de acuerdo en que la construcción de Grothendieck es de importancia fundamental, y la afirmación usual en términos de fibraciones de Grothendieck viola el principio de equivalencia (porque las fibraciones de Grothendieck implican igualdad de objetos). No es una coincidencia que la idea de una fibración de Grothendieck fuera (creo) históricamente anterior a la idea de una fibración de Street, o que las $n$-categorías estrictas sean mucho más fáciles de definir que las débiles. También es frecuentemente más simple pensar en categorías monoidales estrictas y funtores monoidales estrictos que en las versiones débilmente máximas. Incluso tenemos el "Teorema" de Lack, que dice "las bicategorías naturalmente occurring tienden a ser equivalentes a las $2$-categorías estrictas naturalmente ocurriendo".
Aunque no siempre es posible obtener todo lo que queremos de las categorías estrictas (por ejemplo, no hay un $3$-grupoide estricto equivalente como una $3$-categoría débil a $\Pi_{\leq 3} \mathbb{S}^2$), aún puede ser útil al estudiar categorías pensar en ellas de forma estricta. Véase también el sistema de factorización $(\mathrm{bo}, \mathrm{ff})-$, la estructura de modelo canónica en $\mathsf{Cat}$, la construcción del nervio, y la estructura de modelo de Thomason en $\mathsf{Cat}$. ¿Qué otros ejemplos hay dentro de la teoría de categorías donde es útil tratar a las categorías mismas como objetos estrictos? Esta pregunta fue motivada al leer el artículo "Aglomeraciones de Categorías" de MacDonald y Scull (porque tenía un cuadrado de pullback estricto de categorías y quería saber si también era un cuadrado de pushout estricto).
Editar: Otro caso de uso que olvidé mencionar es la construcción de barra asociada a un comonad. Si $W$ es un comonad en $\mathsf{C}$, entonces podemos verlo como un objeto comonoide en la categoría monoidal estricta $(\operatorname{Fun}(\mathsf{C}, \mathsf{C}), \circ, \operatorname{Id})$. Esto se clasifica mediante un único funtor monoidal estricto $F : \Delta^{\mathrm{op}} \to \operatorname{Fun}(\mathsf{C}, \mathsf{C})$, donde $\Delta^{\mathrm{op}}$ es la categoría de símplices aumentada bajo suma ordinal. Podemos ver $F$ en cambio como un funtor de $\mathsf{C}$ a la categoría de objetos simpliciales aumentados de $\mathsf{C}$, y este funtor lleva un objeto a su resolución barra simplicial con respecto a $W$. Básicamente podríamos hacer que esto funcione sin estricticidad, ya que (creo) si $\mathsf{M}$ es una categoría monoidal no necesariamente estricta, entonces un objeto monoide de $\mathsf{M}$ se clasifica mediante un funtor monoidal fuerte esencialmente único $\Delta \to \mathsf{M}$. Pero me resulta más fácil pensar en un único funtor monoidal estricto que en uno fuerte esencialmente único.
