Integral finita con singularidad removible

Question

Quería integrar $\frac{(exp(-x) -1)^2}{x}$ desde $x=0$ hasta $x=a$ donde $a$ es finito. Dado que el integrando, es decir, $\frac{(exp(-x) -1)^2}{x}$ tiene una singularidad removible en $x=0$ , puedo tomar el límite inferior como cero para la integración. Además, si uso un límite superior de integración finito, no puedo usar el Lema de Jordan. ¿Qué enfoque debo usar? ¿Hay algún otro método? ¿O hay alguna forma de utilizar la integración de contornos?

¡Gracias!

Answer 1

Probablemente la mejor manera es regularizar la integral agregando un $x^s$, calcularlo en términos de funciones gamma incompletas, y luego dejar que $s \to 0$. Tenemos $$ \int_0^a x^{s-1}(e^{-x}-1)^2 \, dx = \int_0^a x^{s-1}(e^{-2x}-2e^{-x}+1) \, dx = \frac{a^s}{s} - 2\gamma(s,a) + 2^{-s}\gamma(s,2a), $$ en términos de la función gamma incompleta inferior. En términos de la función gamma incompleta superior, esto es $$ \frac{a^s}{s} + (2^{-s}-2)\Gamma(s) + 2\Gamma(s,a) - 2^{-s} \Gamma(s,2a). $$ Los dos últimos términos son analíticos en $s$, por lo que podemos tomar felizmente $s=0$ en ellos. Para el primero, tenemos $$ \frac{a^s}{s} = \frac{1}{s} + \log{a} + O(s), $$ usando la expansión en serie habitual para una potencia, y $$ (2^{-s}-2)\Gamma(s) = \left(-1-s\log{2}+O(s^2)\right) \left( \frac{1}{s} -\gamma + O(s) \right) = -\frac{1}{s} + \gamma - \log{2} + O(s), $$ usando la serie de Laurent de $\Gamma$ en $0$. Sumando estos, los divergentes $s^{-1}$ se cancelan como deberían, y obtenemos $$ \int_0^a x^{-1}(e^{-x}-1)^2 \, dx = \log{a}-\log{2}+\gamma + 2\Gamma(0,a) - \Gamma(0,2a). $$ (Los dos últimos términos también se pueden escribir usando integrales exponenciales si así se desea.)

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Editado para agregar:

Recordemos una posible definición de $a^s$ es $a^s = e^{s\log{a}}$. Dado que sabemos cómo expandir la función exponencial como una serie de potencias, obtenemos la expansión $$ a^s = e^{s\log{a}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\log{a})^k}{k!} s^k. $$ (alternativamente, considerar la definición de $e^x$ como el límite de $(1+x/n)^n$: reorganizar esto nos permite escribir $$ \log{y} = \lim_{n \to \infty} n(y^{1/n}-1) = \lim_{s \to 0} \frac{y^s-1}{s}, $$ que reconocemos como el cociente derivado de $y^s$ en $s=0$.)

$\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni, que básicamente se define como $-\Gamma'(1)$: para nuestros propósitos, proviene de la integral $$ \int_0^{\infty} e^{-t}\log{t} \, dt = -\gamma, $$ en la cual se reconoce la derivada de $x^{s-1} e^{-x} $ con respecto a $s$ en $s=1$.