Mínimo de la suma de funciones estrictamente convexas

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación? En caso afirmativo, ¿cómo puedo encontrar una prueba?

Supongamos que $f_1$ y $f_2$ son funciones estrictamente convexas en un conjunto convexo $X \subseteq \mathbb{R}^n$. Si $f_1$ y $f_2$ tienen un mínimo, entonces $f = f_1+f_2$ tiene un mínimo.

Entiendo que $f$ es estrictamente convexa y acotada por debajo, porque $f_1$ y $f_2$ tienen un mínimo único. ¿Pero puede suceder que $f$ nunca alcance su ínfimo?

Answer 1

Aquí hay un contraejemplo para $n=2$.

Tomemos $f_1(x) = x_1^2 + x_2^2$, $f_2(x) = 10(x_1-1)^2 + (x_2-1)^2$, ambos claramente estrictamente convexos con mínimos globales en $p_1:=(0,0)$ y $p_2:=(1,1)$, respectivamente. El mínimo global de $f_1+f_2$ está en $p_3:=(10/11, 1/2)$, que no es una combinación convexa de los mínimos de $f_1$ y $f_2.

Ahora definimos $X$ como un $\epsilon$-vecindario del envoltorio convexo de los mínimos globales de $f_1$ y $f_2`: $$ X = \{ (x_1,x_2): \ |x_1-x_2| < \epsilon\}. $$ Para $\epsilon < 9/22$ el punto $p_3$ no está en $X$. Este es el único punto en $\mathbb R^2$, donde el gradiente de $f_1+f_2$ es cero. Por lo tanto, $f_1+f_2$ no tiene mínimo en el conjunto abierto $X$.

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La afirmación es cierta para $n=1`, sin embargo. Sea $X$ convexo, por lo tanto un intervalo. Sea $x_1$ y $x_2$ los mínimos de $f_1$ y $f_2`, respectivamente. Supongamos que $f_1` y $f_2` son continuamente diferenciables. Estoy seguro de que la afirmación también es válida en el caso general.

Supongamos $x_10` y `f_2'(x_1)<0`. Por lo tanto, la derivada de $f_1+f_2` cambia de signo en $X`. Por lo tanto, hay un cero, que es el mínimo de $x_1+x_2`.