Cada espacio métrico $M$ tiene una completación $\widehat M$, es decir, puede ser incrustado como un subconjunto denso en un espacio métrico completo. Cuando me encontré por primera vez con este teorema, pensé "bueno, eso es increíble, ya no necesitamos clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy o cortes de Dedekind, ¡podemos usar esto para construir la recta real!" Me tomó un tiempo darme cuenta de que toda la teoría de los espacios métricos se construye alrededor del concepto de números reales, así que no, no puedes usar esto para construir la recta real.
Ahora, ¿se puede construir la teoría de espacios métricos (no todos, pero lo suficiente para exprimir números reales a partir de los racionales) sin necesidad de los reales primero? "Oh, eso es fácil, solo construye los reales a partir de los racionales usando clases de equivalencia de Cauchy, esa es la teoría básica que quieres." ¿Ok, pero se puede generalizar? La completación de Banach está cerca de lo que quiero, pero (i) todavía es un poco limitada (solo se aplica a espacios vectoriales); y (ii) funciona para espacios vectoriales sobre el campo de.... ¡los números reales! Entonces, de nuevo, necesitamos construir los reales primero.
¿Es simplemente que la recta real es nuestro ejemplo/canónico de "completo" o "continuo", para que todo "completo" o "continuo" necesite ser definido sobre él? Me gustaría saber qué tipo de teoremas y/o argumentos existen en torno a la idea de completar espacios "incompletos" desde cero.
