Relaciones de recurrencia con algoritmo

Question

Sea $x \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{N}$. $c_0=1,c_1=\cos x$

para $k=1,2,...,n-1$:

$c_{k+1}=2c_1c_k-c_{k-1}$

¿Cómo demostrar que $c_k=\cos kx$?

Intenté demostrar esta igualdad con inducción:

$k=1:c_1=\cos x$

$k \mapsto k+1: 2\cos(x)c_{k+1}-c_k$

Aquí no sé cómo continuar. Quiero usar las fórmulas de adición trigonométrica, pero no funciona desde aquí.

Answer 1

Necesitas inducción fuerte para este problema, donde asumes que la fórmula $c_n$ es verdadera para todos $1\le n\le k$: $$c_{k+1}=2c_1c_k-c_{k-1}=2\cos x\cos kx-\cos(k-1)x$$ Utilizamos una identidad de producto a suma para eliminar el producto de cosenos: $$=\cos(kx-x)+\cos(kx+x)-\cos(k-1)x=\cos(k+1)x+\cos(k-1)x-\cos(k-1)x=\cos(k+1)x$$ Esto completa el paso inductivo.