¿Por qué las líneas de campo electrostáticas no pueden formar bucles cerrados?

Question

Mi libro de texto de física dice: "Las líneas de campo electrostático no forman bucles cerrados. Esto es una consecuencia de la naturaleza conservadora del campo eléctrico". Pero no puedo entender esto. ¿Alguien puede explicarlo?

Answer 1

Si hubiera una línea de campo cerrada una partícula que siguiera esa línea acabaría volviendo al mismo lugar pero teniendo una energía diferente por lo que el campo no sería conservativo.

Answer 2

Se dice que una fuerza es conservativa si su trabajo a lo largo de una trayectoria para ir de un punto $A$ a un punto $B$ es igual a la diferencia $U(A)-U(B)$ donde $U$ es una función llamada energía potencial. Esto implica que si $A=B$ entonces no hay cambio en la energía potencial. Este hecho es independiente del aumento o no de la energía cinética.

Si una fuerza conservativa formara bucles, podría proporcionar un trabajo neto no nulo (porque la dirección de la fuerza podría ser siempre la misma que la de la trayectoria del bucle) para ir de A y luego volver a A, mientras que al mismo tiempo su carácter conservativo aseguraría que este trabajo debería ser nulo; lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, la "fuerza conservadora" y la "formación de bucles" son dos propiedades incompatibles que no pueden satisfacerse al mismo tiempo.

Answer 3

La solución de la ecuación de Laplace, $\nabla^2 \phi =0$ es una función armónica, que tiene la propiedad de no tener mínimos ni máximos locales. Esto implica que $\vec{E} = -\vec{\nabla}\phi$ no puede ser cero si $\phi$ no es constante, por lo que se puede utilizar para definir una curva, la curva de campo con vector tangente $\vec{E}$ apuntando en la dirección que $\phi$ disminuye. Si tomamos la integral de contorno $\int_{\partial A} \vec{E}\cdot d\vec{l}$ con $A$ una superficie arbitraria y $\partial A$ su límite (una curva cerrada), tal que a lo largo de ella la desigualdad $\vec{E}\cdot d \vec{l}\geq 0$ se satisface, la integral debe ser $>0$ . Esto equivale a la afirmación de que el trabajo realizado es positivo para una partícula con carga positiva que se mueve a lo largo de la línea de campo. Sin embargo, para el caso estático las ecuaciones de Maxwell dan $\vec{\nabla}\times \vec{E} = \vec{0}$ y, por el teorema de Stokes, $$0=\int_A (\vec{\nabla}\times \vec{E}) \cdot d \vec{A} = \int_{\partial A} \vec{E} \cdot d \vec{l},$$ por lo que tenemos una contradicción. Claramente, debemos permitir puntos donde el campo no es continuo y el signo de $\vec{E} \cdot d \vec{l}$ cambios, que se convierten en los puntos finales de las curvas de campo que se forman si rompemos $\partial A$ en dos piezas (una para cada signo de $\vec{E}\cdot d \vec{l}$ ), y estos puntos finales son los cargos.

Answer 4

Un camino diferente para llegar al mismo resultado, que puede ser más intuitivo o no, sería

1. Por definición, el campo electrostático es la suma de los campos de Coulomb de todas las cargas fuente. (En el caso de una distribución continua de cargas, podemos considerar el límite de una colección de cargas puntuales cada vez más pequeñas, o sustituir la suma por una integral, pero no me preocuparé aquí de esa pedantería matemática).

2. Cada campo de Coulomb para una carga puntual resulta ser expresable como el gradiente de un escalar potencial campo. No necesitamos saber mucho sobre el campo de Coulomb para saber esto, sólo que es rotacionalmente simétrico respecto a la carga puntual.

3. Por lo tanto, el campo electrostático (que es la suma de los campos de Coulomb de carga puntual) es también el gradiente de la suma de los potenciales de carga puntual. Más pedantería matemática barrida bajo la alfombra aquí].

4. Por definición, las líneas de campo van en la dirección del campo E, que es el gradiente del potencial total.

5. Por lo tanto, a medida que nos movemos a lo largo de una línea de campo, el potencial aumenta monótonamente . Hmm... hay una convención de signos que va mal aquí -- el potencial del que estoy hablando es menos el significado habitual de potencial, pero no importa eso].

6. Sin embargo, si hubiera una línea de campo de bucle cerrado, cuando volviéramos al punto de partida, estaríamos ahora en el mismo potencial en el que empezamos, pero en todo el recorrido del bucle ha ido aumentando todo el tiempo. Esto es absurdo, por lo que no puede ocurrir.

Answer 5

Si asumo que las líneas de campo eléctrico forman un bucle cerrado, eso significaría que el campo eléctrico tiene un rizo no nulo. Así que no puedo escribir el campo eléctrico para ser gradiente de alguna función escalar.

Eso implicaría que el trabajo realizado por el campo eléctrico dependería de la trayectoria. sabemos que ese no es el caso realmente.

Otra forma de ver esto: Las líneas de campo eléctrico cerradas significarían que el número de líneas de campo que pasan a través de una superficie cerrada es cero y por lo tanto la divergencia del campo eléctrico es cero, lo cual no puede ser el caso ya que el monopolo eléctrico siempre existe.