Recientemente he estado pensando en la siguiente pregunta:
¿Por qué se considera que $\emptyset$ es un conjunto?
La definición de un conjunto es: una colección bien definida de "elementos". Por lo tanto, surgió mi pregunta, que $\emptyset$ está bien definido pero no contiene ningún elemento que debería estar según la definición de conjunto.
También se considera un conjunto por razones más prácticas: Podemos especificar conjuntos sin saber si realmente contienen elementos o no. Tener que distinguir entre los dos casos hace que todo sea incómodo. Por ejemplo, considera esto: Sea $S\subseteq \mathbb N^3$ el conjunto de soluciones enteras positivas de la ecuación $x^4+y^4=z^4$. Podemos razonar que debe ser un subconjunto de $\mathbb N^3\backslash(E^2\times O)$, donde $E$ es el conjunto de números pares y $O$ el de números impares, simplemente porque si $x$ y $y$ son pares, entonces también lo es $x^4+y^4$ y así también $z^4$, y una potencia de un número es par si y solo si el número en sí es par.
Pero todas estas afirmaciones presuponen que $S$ es de hecho un conjunto. Y resulta que no hay tal solución a la ecuación (es un caso especial del último teorema de Fermat), así que si no permitimos un conjunto vacío, entonces todas nuestras deliberaciones deberían haber venido con la advertencia: "a menos que no haya solución". Pero eso es engorroso y se puede manejar fácilmente permitiendo un conjunto vacío. El conjunto vacío sigue siendo un subconjunto de $\mathbb N^3\backslash(E^2\times O)$, por lo que nuestra afirmación es cierta sin casos especiales engorrosos.
Un conjunto es algo en donde para cualquier objeto, como $ 1 $ o $ 23 $ o "naranja", la respuesta a la pregunta "¿el objeto está en el conjunto?" es un sí/no definitivo. El conjunto vacío es simplemente el conjunto en donde la respuesta es "no" para cada objeto.
En la práctica, a menudo deseas realizar operaciones en conjuntos como la unión $ \cup $ o la intersección $ \cap $ y es conveniente que el resultado siempre sea un conjunto. Por ejemplo, la intersección de los conjuntos $ \{ 1, 2, 3 \} $ y $ \{ 4, 5, 6 \} $ es el conjunto vacío, porque ningún número aparece en ambos conjuntos. Sería engorroso decir siempre "cuando combinamos estos conjuntos obtenemos un conjunto o esta otra cosa".
El conjunto vacío es como el "cero" de los conjuntos. Nuevamente, sería engorroso decir "cuando sumas o restas números, el resultado siempre es un número excepto esta cosa especial llamada cero". Simplemente usamos la palabra "número" para definir la colección de cosas que nos interesa combinar y seguimos adelante.
La definición de un conjunto como una "colección bien definida de elementos" no impone restricciones sobre la presencia o ausencia de elementos en el conjunto. Simplemente significa que para cualquier conjunto dado, sus elementos deben estar bien definidos y ser distinguibles. Por lo tanto, aunque no haya elementos en un conjunto vacío, todavía está bien definido y, por lo tanto, es un conjunto.
El enfoque aquí es la colección en sí misma, no los elementos. Una colección de 0 elementos sigue siendo una colección válida.
Supongamos que hay tres cestas de fruta en una mesa. La primera contiene 2 naranjas. La segunda contiene 3 manzanas. La tercera está vacía. Si las dos primeras cestas son cestas válidas bajo la definición de cesta de fruta, entonces la tercera también es válida.
Solo quiero agregar un poco de contexto histórico a las dos respuestas ya dadas.
El artículo de Kanamori "El Conjunto Vacío, el Singleton y el Par Ordenado" (The Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 9, No. 3 (Sep., 2003), pp. 273-298) tiene esto que decir:
Para el teórico de conjuntos moderno, el conjunto vacío $\emptyset$, el singleton $\{a\}$ y el par ordenado $\langle x, y\rangle$ están al principio del desarrollo sistemático y axiomático de la teoría de conjuntos, tanto como un campo de las matemáticas como un marco para las matemáticas en curso. ... Así que es sorprendente que, aunque estas nociones no presentan problema alguno hoy en día, fueron fuentes de considerable preocupación y confusión entre los pioneros líderes en lógica matemática como Frege, Russell, Dedekind y Peano. ...
Kanamori dedica toda una sección a la discusión del conjunto vacío, poco más de dos páginas. Desde el primer párrafo de esta sección:
Visto como parte de tradiciones filosóficas más amplias, la clase nula sirve como el enfoque extensional para cuestiones de siempre sobre la Nada y la Negación, y el conjunto vacío surgió con la creciente necesidad de objetivación y simbolización.
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