Mostrar que una métrica en C[a,b] está dada por $d(x,y)=\int_{a}^{b}|x(t)-y(t)|dt$

Question

Soy algo nuevo en análisis funcional (y en este sitio, así que por favor corríjame constructivamente si cometo alguna falta aquí). Estoy en un capítulo de Kreyszig (Intro.to Func.Anal.) y ya tengo problemas. Se nos pide demostrar que

$d(x,y)=\int_{a}^{b}|x(t)-y(t)|dt$

es una métrica en funciones continuas en el intervalo [a,b]. Creo que puedo hacer casi todas las comprobaciones sin problemas, excepto una:

si $d(x,y)=0$, entonces $x=y$

(Nótese que di SI y no SI Y SOLO SI, la otra dirección es necesaria como parte del problema, pero es super trivial.)

Comencé una demostración por contradicción asumiendo que $x\neq y$, digamos al menos para un t (mi intuición es que para funciones discontinuas sería la diferencia mínima entre dos funciones que no eran iguales).

Por supuesto, nuestra suposición es que x e y están en el espacio C[a,b], por lo tanto tenemos continuidad, por lo tanto si las funciones difieren al menos en un t, entonces debe haber una cantidad "medible" de t para la cual las funciones difieren, lo que significaría que nuestra integral debe ser distinta de cero, contradicción, qed. Sin embargo, no tengo idea de cómo mostrar matemáticamente todos esos pasos, y siento que todo el propósito de la "INTRO" de Kreyszig a Func.Anal. es enseñar cómo demostrar este tipo de cosas para el FINAL del libro, no pedirnos que lo sepamos en el primer capítulo... ¿Estoy pensando demasiado? ¿Me perdí algo muy directo?

Answer 1

Pista: usando la continuidad, si $y(t) \neq x(t)$ entonces hay un intervalo $[c, d]$ con $c \frac12 |x(t) - y(t)| $$

Answer 2

Pista : si $f \, : \, [a,b] \, \rightarrow \, \mathbb{R}^{+}$ es continua en $[a,b]$ y $\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \, dt = 0$ entonces $f \equiv 0$ en $[a,b]$.

Esto te ayudará a demostrar que :

$$ \forall (f,g) \in \mathcal{C}([a,b])^{2}, \; \big( \, d(f,g) = 0 \, \big) \; \Rightarrow \; \big( \, f = g \, \big). $$

Answer 3

Tu prueba es correcta. Solo nota que si tienes un punto $t\in[a,b]$ tal que $x(t)\neq y(t)$ entonces hay todo un vecindario $[c,d]$ en el cual $x$ y $y$ difieren. Así que $|x(t)-y(t)|>0$ en dicho intervalo y: $$\int_c^d|x(t)-y(t)|\,\mathrm{d}t>0$$